Дано:
- Куб с ребром \(a = 9\) м.
- Сила \(F_1 = 9,6\) Н.
- Сила \(F_2 = 2,9\) Н.
- Центр приведения - точка \(O\).
Найти:
- Модуль главного момента \(M_O\).
Решение:
Для определения главного момента системы сил относительно точки \(O\), нам нужно найти моменты каждой силы относительно этой точки и затем сложить их векторно.
Рассмотрим силы и их точки приложения относительно системы координат с началом в точке \(O\).
1. Сила \(F_1\):
Из рисунка видно, что сила \(F_1\) направлена вдоль оси \(x\) в отрицательном направлении. Точка приложения силы \(F_1\) находится на оси \(x\) на расстоянии \(a\) от начала координат. Координаты точки приложения силы \(F_1\) можно принять как \((a, 0, 0)\) или \((0, 0, 0)\) в зависимости от того, как интерпретировать рисунок. Однако, более точно, сила \(F_1\) приложена к вершине куба, которая находится на оси \(x\). Вектор силы \(F_1\) можно записать как \(\vec{F_1} = (-F_1, 0, 0)\).
Радиус-вектор от точки \(O\) до точки приложения силы \(F_1\) (нижняя левая вершина куба на оси \(x\)) равен \(\vec{r_1} = (a, 0, 0)\).
Момент силы \(F_1\) относительно точки \(O\) определяется векторным произведением \(\vec{M_1} = \vec{r_1} \times \vec{F_1}\).
\[ \vec{M_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ -F_1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \]
\[ \vec{M_1} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 0) - \vec{j}(a \cdot 0 - 0 \cdot (-F_1)) + \vec{k}(a \cdot 0 - 0 \cdot (-F_1)) = \vec{0} \]
Момент силы \(F_1\) относительно точки \(O\) равен нулю, так как линия действия силы \(F_1\) проходит через точку \(O\).
2. Сила \(F_2\):
Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, которая находится в плоскости \(yz\), на расстоянии \(a\) от оси \(y\) и \(a\) от оси \(z\). Точка приложения силы \(F_2\) имеет координаты \((0, a, a)\).
Вектор силы \(F_2\) направлен вдоль диагонали грани куба, лежащей в плоскости \(yz\). Из рисунка видно, что сила \(F_2\) направлена от точки \((0, 0, 0)\) к точке \((0, a, a)\). Однако, сила \(F_2\) приложена к вершине \((0, a, a)\) и направлена в сторону увеличения \(y\) и \(z\). Если предположить, что сила \(F_2\) направлена вдоль диагонали грани, то её проекции на оси \(y\) и \(z\) будут равны. Модуль силы \(F_2\) равен \(2,9\) Н.
Вектор силы \(F_2\) можно представить как \(\vec{F_2} = (0, F_{2y}, F_{2z})\). Поскольку сила направлена вдоль диагонали грани, то \(F_{2y} = F_{2z}\). Модуль силы \(F_2\) равен \(\sqrt{F_{2y}^2 + F_{2z}^2} = \sqrt{F_{2y}^2 + F_{2y}^2} = \sqrt{2F_{2y}^2} = F_{2y}\sqrt{2}\).
Отсюда \(F_{2y} = F_{2z} = \frac{F_2}{\sqrt{2}}\).
\[ F_{2y} = F_{2z} = \frac{2,9}{\sqrt{2}} \approx \frac{2,9}{1,414} \approx 2,05 \text{ Н} \]
Таким образом, \(\vec{F_2} = (0, \frac{F_2}{\sqrt{2}}, \frac{F_2}{\sqrt{2}})\).
Радиус-вектор от точки \(O\) до точки приложения силы \(F_2\) (верхняя правая вершина куба в плоскости \(yz\)) равен \(\vec{r_2} = (0, a, a)\).
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(O\) определяется векторным произведением \(\vec{M_2} = \vec{r_2} \times \vec{F_2}\).
\[ \vec{M_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & a \\ 0 & \frac{F_2}{\sqrt{2}} & \frac{F_2}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} \]
\[ \vec{M_2} = \vec{i}(a \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}} - a \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}}) - \vec{j}(0 \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}} - a \cdot 0) + \vec{k}(0 \cdot \frac{F_2}{\sqrt{2}} - a \cdot 0) \]
\[ \vec{M_2} = \vec{i}(0) - \vec{j}(0) + \vec{k}(0) = \vec{0} \]
Момент силы \(F_2\) относительно точки \(O\) также равен нулю, так как линия действия силы \(F_2\) проходит через точку \(O\).
Главный момент:
Главный момент системы сил относительно точки \(O\) равен векторной сумме моментов всех сил:
\[ \vec{M_O} = \vec{M_1} + \vec{M_2} = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0} \]
Модуль главного момента \(M_O\) равен модулю вектора \(\vec{M_O}\):
\[ M_O = |\vec{M_O}| = 0 \]
Важное замечание по интерпретации рисунка:
Если предположить, что точка \(O\) является центром куба, а не началом координат, как это часто бывает в задачах. Однако, на рисунке точка \(O\) явно обозначена как начало координат, и оси \(x, y, z\) исходят из неё. Если бы точка \(O\) была центром куба, то радиус-векторы и моменты были бы другими.
Давайте перепроверим интерпретацию рисунка. Точка \(O\) находится в углу куба, откуда исходят оси \(x, y, z\). Это означает, что \(O\) - это начало координат.
Сила \(F_1\) приложена к вершине куба, которая находится на оси \(x\). Её линия действия проходит через \(O\). Момент \(\vec{M_1} = \vec{0}\).
Сила \(F_2\) приложена к вершине куба, которая находится в плоскости \(yz\). Её линия действия также проходит через \(O\). Момент \(\vec{M_2} = \vec{0}\).
Если бы силы были приложены к другим вершинам или направлены иначе, моменты были бы ненулевыми. Но согласно данному рисунку, обе силы проходят через центр приведения \(O\).
Ответ:
Модуль главного момента равен \(0\) Н·м.