Практическое задание «Линии второго порядка на плоскости»
Вариант 1
1. Найти центр и радиус окружности, изобразить в системе координат
Дано уравнение окружности:
\[x^2 + y^2 + 6x - 4y + 9 = 0\]Чтобы найти центр и радиус окружности, приведем это уравнение к каноническому виду \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\), где \((x_0, y_0)\) — координаты центра, а \(R\) — радиус.
Сгруппируем члены с \(x\) и \(y\):
\[(x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) + 9 = 0\]Дополним выражения в скобках до полных квадратов. Для \(x^2 + 6x\) нужно добавить \((6/2)^2 = 3^2 = 9\). Для \(y^2 - 4y\) нужно добавить \((-4/2)^2 = (-2)^2 = 4\).
Добавляем и вычитаем эти числа, чтобы не изменить уравнение:
\[(x^2 + 6x + 9 - 9) + (y^2 - 4y + 4 - 4) + 9 = 0\]Перегруппируем:
\[(x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) - 9 - 4 + 9 = 0\]Свернем полные квадраты:
\[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 - 4 = 0\]Перенесем константу в правую часть:
\[(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 4\]Теперь сравним это с каноническим видом \((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2\).
Мы видим, что:
\(x_0 = -3\)
\(y_0 = 2\)
\(R^2 = 4 \Rightarrow R = \sqrt{4} = 2\)
Итак, центр окружности находится в точке \((-3, 2)\), а радиус окружности равен \(2\).
Изображение в системе координат:
Для построения окружности нужно отметить точку центра \((-3, 2)\) и отложить от нее радиус \(2\) вправо, влево, вверх и вниз, а затем провести окружность через эти точки.
(Здесь должно быть изображение графика окружности. Поскольку я не могу рисовать, я опишу, как это сделать: начертите декартову систему координат. Отметьте точку с координатами \((-3, 2)\) — это будет центр окружности. От этой точки отложите 2 единицы вправо (до \((-1, 2)\)), 2 единицы влево (до \((-5, 2)\)), 2 единицы вверх (до \((-3, 4)\)) и 2 единицы вниз (до \((-3, 0)\)). Затем аккуратно проведите окружность, проходящую через эти четыре точки.)
2. Изобразить линии на плоскости, найти оси, координаты фокусов, расстояние между фокусами и эксцентриситет
a) Эллипс
Уравнение эллипса:
\[\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{16} = 1\]Это каноническое уравнение эллипса \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\).
Сравнивая, получаем:
\(a^2 = 25 \Rightarrow a = 5\)
\(b^2 = 16 \Rightarrow b = 4\)
Поскольку \(a > b\), большая полуось лежит на оси \(Ox\), а малая полуось — на оси \(Oy\).
Оси:
- Большая ось: \(2a = 2 \cdot 5 = 10\). Лежит на оси \(Ox\).
- Малая ось: \(2b = 2 \cdot 4 = 8\). Лежит на оси \(Oy\).
Координаты фокусов:
Для эллипса \(c^2 = a^2 - b^2\).
\[c^2 = 25 - 16 = 9\] \[c = \sqrt{9} = 3\]Фокусы расположены на большей оси, то есть на оси \(Ox\). Их координаты: \(F_1(-c, 0)\) и \(F_2(c, 0)\).
Итак, координаты фокусов: \(F_1(-3, 0)\) и \(F_2(3, 0)\).
Расстояние между фокусами:
Расстояние между фокусами равно \(2c\).
\[2c = 2 \cdot 3 = 6\]Эксцентриситет:
Эксцентриситет эллипса \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{3}{5} = 0.6\]Изображение на плоскости:
(Здесь должно быть изображение графика эллипса. Начертите декартову систему координат. Отметьте точки \((5, 0)\), \((-5, 0)\), \((0, 4)\), \((0, -4)\). Проведите эллипс через эти точки. Отметьте фокусы \((-3, 0)\) и \((3, 0)\).)
b) Эллипс
Уравнение эллипса:
\[\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{16} = 1\]Это каноническое уравнение эллипса \(\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1\).
Сравнивая, получаем:
\(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
\(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\)
Поскольку \(a > b\), большая полуось лежит на оси \(Oy\), а малая полуось — на оси \(Ox\).
Оси:
- Большая ось: \(2a = 2 \cdot 4 = 8\). Лежит на оси \(Oy\).
- Малая ось: \(2b = 2 \cdot 2 = 4\). Лежит на оси \(Ox\).
Координаты фокусов:
Для эллипса \(c^2 = a^2 - b^2\).
\[c^2 = 16 - 4 = 12\] \[c = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\]Фокусы расположены на большей оси, то есть на оси \(Oy\). Их координаты: \(F_1(0, -c)\) и \(F_2(0, c)\).
Итак, координаты фокусов: \(F_1(0, -2\sqrt{3})\) и \(F_2(0, 2\sqrt{3})\).
Расстояние между фокусами:
Расстояние между фокусами равно \(2c\).
\[2c = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\]Эксцентриситет:
Эксцентриситет эллипса \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]Изображение на плоскости:
(Здесь должно быть изображение графика эллипса. Начертите декартову систему координат. Отметьте точки \((2, 0)\), \((-2, 0)\), \((0, 4)\), \((0, -4)\). Проведите эллипс через эти точки. Отметьте фокусы \((0, -2\sqrt{3})\) и \((0, 2\sqrt{3})\).)
c) Гипербола
Уравнение гиперболы:
\[\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1\]Это каноническое уравнение гиперболы \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\).
Сравнивая, получаем:
\(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
\(b^2 = 4 \Rightarrow b = 2\)
Оси:
- Действительная полуось: \(a = 4\). Лежит на оси \(Ox\).
- Мнимая полуось: \(b = 2\). Лежит на оси \(Oy\).
Координаты фокусов:
Для гиперболы \(c^2 = a^2 + b^2\).
\[c^2 = 16 + 4 = 20\] \[c = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\]Фокусы расположены на действительной оси, то есть на оси \(Ox\). Их координаты: \(F_1(-c, 0)\) и \(F_2(c, 0)\).
Итак, координаты фокусов: \(F_1(-2\sqrt{5}, 0)\) и \(F_2(2\sqrt{5}, 0)\).
Расстояние между фокусами:
Расстояние между фокусами равно \(2c\).
\[2c = 2 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}\]Эксцентриситет:
Эксцентриситет гиперболы \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{2\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}\]Асимптоты:
Уравнения асимптот для данной гиперболы: \(y = \pm \frac{b}{a}x\).
\[y = \pm \frac{2}{4}x = \pm \frac{1}{2}x\]Изображение на плоскости:
(Здесь должно быть изображение графика гиперболы. Начертите декартову систему координат. Отметьте вершины \((4, 0)\) и \((-4, 0)\). Постройте прямоугольник с вершинами \((4, 2)\), \((4, -2)\), \((-4, 2)\), \((-4, -2)\). Проведите диагонали этого прямоугольника — это будут асимптоты \(y = \pm \frac{1}{2}x\). Затем нарисуйте ветви гиперболы, проходящие через вершины и приближающиеся к асимптотам. Отметьте фокусы \((-2\sqrt{5}, 0)\) и \((2\sqrt{5}, 0)\).)
d) Гипербола
Уравнение гиперболы:
\[\frac{y^2}{16} - \frac{x^2}{9} = 1\]Это каноническое уравнение гиперболы \(\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1\).
Сравнивая, получаем:
\(a^2 = 16 \Rightarrow a = 4\)
\(b^2 = 9 \Rightarrow b = 3\)
Оси:
- Действительная полуось: \(a = 4\). Лежит на оси \(Oy\).
- Мнимая полуось: \(b = 3\). Лежит на оси \(Ox\).
Координаты фокусов:
Для гиперболы \(c^2 = a^2 + b^2\).
\[c^2 = 16 + 9 = 25\] \[c = \sqrt{25} = 5\]Фокусы расположены на действительной оси, то есть на оси \(Oy\). Их координаты: \(F_1(0, -c)\) и \(F_2(0, c)\).
Итак, координаты фокусов: \(F_1(0, -5)\) и \(F_2(0, 5)\).
Расстояние между фокусами:
Расстояние между фокусами равно \(2c\).
\[2c = 2 \cdot 5 = 10\]Эксцентриситет:
Эксцентриситет гиперболы \(e = \frac{c}{a}\).
\[e = \frac{5}{4}\]Асимптоты:
Уравнения асимптот для данной гиперболы: \(y = \pm \frac{a}{b}x\).
\[y = \pm \frac{4}{3}x\]Изображение на плоскости:
(Здесь должно быть изображение графика гиперболы. Начертите декартову систему координат. Отметьте вершины \((0, 4)\) и \((0, -4)\). Постройте прямоугольник с вершинами \((3, 4)\), \((3, -4)\), \((-3, 4)\), \((-3, -4)\). Проведите диагонали этого прямоугольника — это будут асимптоты \(y = \pm \frac{4}{3}x\). Затем нарисуйте ветви гиперболы, проходящие через вершины и приближающиеся к асимптотам. Отметьте фокусы \((0, -5)\) и \((0, 5)\).)