Решение задачи: построение эпюр N, σ, и перемещений для бруса

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Пример 2 Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений для бруса, изображенного на рис. 2, а. Определить полную деформацию. Собственный брус учитывать не будем. По оси двухступенчатого бруса приложены силы \(F_1 = 50 \text{ кН}\), \(F_2 = 120 \text{ кН}\), \(F_3 = 100 \text{ кН}\). Соответствующие площади поперечных сечений и длины участков: \(A_1 = 10 \text{ см}^2\), \(A_2 = 20 \text{ см}^2\), \(l_1 = 20 \text{ см}\), \(l_2 = 30 \text{ см}\), \(l_3 = 20 \text{ см}\). Принять \(E = 210 \cdot 10^2 \text{ кН/см}^2\). Решение. Для определения продольных сил разбиваем брус на три участка. Отметим, что продольные силы в сечениях можно найти без определения опорной реакции, рассматривая равновесие отсеченных частей со стороны свободного края бруса. На схеме показываем ось \(z\) с началом в нижнем сечении. 1. Построение эпюры продольных сил \(N\). Разбиваем брус на три участка и рассматриваем равновесие отсеченных частей. * Участок I (от 0 до \(l_1\)): Рассматриваем нижнюю часть бруса. \[\sum F_z = 0\] \[N_1 - F_1 = 0\] \[N_1 = F_1 = 50 \text{ кН}\] На этом участке продольная сила постоянна и равна \(50 \text{ кН}\). Она растягивающая, поэтому на эпюре будет положительной. * Участок II (от \(l_1\) до \(l_1 + l_2\)): Рассматриваем часть бруса от нижнего конца до сечения на втором участке. \[\sum F_z = 0\] \[N_2 - F_1 - F_2 = 0\] \[N_2 = F_1 + F_2 = 50 \text{ кН} + 120 \text{ кН} = 170 \text{ кН}\] На этом участке продольная сила постоянна и равна \(170 \text{ кН}\). Она растягивающая, поэтому на эпюре будет положительной. * Участок III (от \(l_1 + l_2\) до \(l_1 + l_2 + l_3\)): Рассматриваем часть бруса от нижнего конца до сечения на третьем участке. \[\sum F_z = 0\] \[N_3 - F_1 - F_2 + F_3 = 0\] \[N_3 = F_1 + F_2 - F_3 = 50 \text{ кН} + 120 \text{ кН} - 100 \text{ кН} = 70 \text{ кН}\] На этом участке продольная сила постоянна и равна \(70 \text{ кН}\). Она растягивающая, поэтому на эпюре будет положительной. Эпюра продольных сил \(N\) будет выглядеть как ступенчатая диаграмма с положительными значениями: * На первом участке: \(N = 50 \text{ кН}\) * На втором участке: \(N = 170 \text{ кН}\) * На третьем участке: \(N = 70 \text{ кН}\) 2. Построение эпюры нормальных напряжений \(\sigma\). Нормальное напряжение в каждом участке определяется по формуле: \[\sigma = \frac{N}{A}\] Переведем площади в \(\text{см}^2\): \(A_1 = 10 \text{ см}^2\) \(A_2 = 20 \text{ см}^2\) \(A_3 = A_2 = 20 \text{ см}^2\) (по рисунку видно, что третий участок имеет ту же площадь, что и второй) * Участок I: \[\sigma_1 = \frac{N_1}{A_1} = \frac{50 \text{ кН}}{10 \text{ см}^2} = 5 \text{ кН/см}^2\] (На рисунке указано 50, возможно, это опечатка или другое обозначение, но по расчетам 5 кН/см^2) * Участок II: \[\sigma_2 = \frac{N_2}{A_2} = \frac{170 \text{ кН}}{20 \text{ см}^2} = 8.5 \text{ кН/см}^2\] (На рисунке указано 35, возможно, это опечатка или другое обозначение, но по расчетам 8.5 кН/см^2) * Участок III: \[\sigma_3 = \frac{N_3}{A_3} = \frac{70 \text{ кН}}{20 \text{ см}^2} = 3.5 \text{ кН/см}^2\] (На рисунке указано 15, возможно, это опечатка или другое обозначение, но по расчетам 3.5 кН/см^2) Эпюра нормальных напряжений \(\sigma\) будет выглядеть как ступенчатая диаграмма с положительными значениями: * На первом участке: \(\sigma = 5 \text{ кН/см}^2\) * На втором участке: \(\sigma = 8.5 \text{ кН/см}^2\) * На третьем участке: \(\sigma = 3.5 \text{ кН/см}^2\) 3. Построение эпюры перемещений \(w\). Перемещение в каждом сечении определяется по формуле: \[w(z) = \sum \frac{N_i l_i}{E A_i}\] Модуль упругости \(E = 210 \cdot 10^2 \text{ кН/см}^2\). * Перемещение в конце первого участка (на границе с участком II), \(z = l_1\): \[w_1 = \frac{N_1 l_1}{E A_1} = \frac{50 \text{ кН} \cdot 20 \text{ см}}{210 \cdot 10^2 \text{ кН/см}^2 \cdot 10 \text{ см}^2} = \frac{1000}{210000} \text{ см} \approx 0.00476 \text{ см}\] (На рисунке указано 0.0119, что не соответствует нашим расчетам. Возможно, на рисунке указаны значения для другого \(E\) или есть другие допущения.) * Перемещение в конце второго участка (на границе с участком III), \(z = l_1 + l_2\): \[w_2 = w_1 + \frac{N_2 l_2}{E A_2} = 0.00476 \text{ см} + \frac{170 \text{ кН} \cdot 30 \text{ см}}{210 \cdot 10^2 \text{ кН/см}^2 \cdot 20 \text{ см}^2}\] \[w_2 = 0.00476 \text{ см} + \frac{5100}{420000} \text{ см} = 0.00476 \text{ см} + 0.01214 \text{ см} \approx 0.0169 \text{ см}\] (На рисунке указано 0.0357, что не соответствует нашим расчетам.) * Перемещение в конце третьего участка (верхний конец бруса), \(z = l_1 + l_2 + l_3\): \[w_3 = w_2 + \frac{N_3 l_3}{E A_3} = 0.0169 \text{ см} + \frac{70 \text{ кН} \cdot 20 \text{ см}}{210 \cdot 10^2 \text{ кН/см}^2 \cdot 20 \text{ см}^2}\] \[w_3 = 0.0169 \text{ см} + \frac{1400}{420000} \text{ см} = 0.0169 \text{ см} + 0.00333 \text{ см} \approx 0.02023 \text{ см}\] (На рисунке указано 0.0143, что не соответствует нашим расчетам.) Эпюра перемещений \(w\) будет линейно возрастающей на каждом участке, начиная с нуля в нижнем сечении. * На первом участке: \(w(z) = \frac{N_1 z}{E A_1}\) * На втором участке: \(w(z) = w_1 + \frac{N_2 (z - l_1)}{E A_2}\) * На третьем участке: \(w(z) = w_2 + \frac{N_3 (z - l_1 - l_2)}{E A_3}\) Значения перемещений: * В начале бруса (\(z=0\)): \(w = 0\) * На границе 1-2 участков (\(z=l_1\)): \(w_1 \approx 0.00476 \text{ см}\) * На границе 2-3 участков (\(z=l_1+l_2\)): \(w_2 \approx 0.0169 \text{ см}\) * В конце бруса (\(z=l_1+l_2+l_3\)): \(w_3 \approx 0.02023 \text{ см}\) 4. Определение полной деформации. Полная деформация бруса - это перемещение его верхнего конца относительно нижнего. \[\Delta L = w_3 \approx 0.02023 \text{ см}\] Если использовать значения с рисунка для перемещений, то: * Перемещение на границе 1-2 участков: \(w_1 = 0.0119 \text{ см}\) * Перемещение на границе 2-3 участков: \(w_2 = 0.0357 \text{ см}\) * Перемещение на верхнем конце: \(w_3 = 0.0143 \text{ см}\) Обратите внимание, что значения перемещений на рисунке не согласуются с формулами и предыдущими значениями. Возможно, на рисунке указаны абсолютные перемещения, а не приращения, или же есть ошибка в исходных данных или в рисунке. Если следовать логике, что \(w_3\) - это перемещение верхнего конца, то оно должно быть наибольшим. На рисунке \(w_3\) меньше, чем \(w_2\), что указывает на ошибку в рисунке или в интерпретации. Если принять, что на рисунке указаны приращения перемещений на каждом участке, то: \(\Delta w_1 = 0.0119 \text{ см}\) \(\Delta w_2 = 0.0357 \text{ см}\) \(\Delta w_3 = 0.0143 \text{ см}\) Тогда полная деформация (перемещение верхнего конца) будет: \[\Delta L = \Delta w_1 + \Delta w_2 + \Delta w_3 = 0.0119 + 0.0357 + 0.0143 = 0.0619 \text{ см}\] Однако, если мы используем наши расчетные значения: \(\Delta w_1 = 0.00476 \text{ см}\) \(\Delta w_2 = 0.01214 \text{ см}\) \(\Delta w_3 = 0.00333 \text{ см}\) Тогда полная деформация: \[\Delta L = 0.00476 + 0.01214 + 0.00333 = 0.02023 \text{ см}\] Будем придерживаться наших расчетов, так как они основаны на предоставленных формулах и данных. Полная деформация бруса: \[\Delta L = w_3 \approx 0.02023 \text{ см}\] Окончательные эпюры: Эпюра продольных сил \(N\): * Участок I: \(N = 50 \text{ кН}\) * Участок II: \(N = 170 \text{ кН}\) * Участок III: \(N = 70 \text{ кН}\) Эпюра нормальных напряжений \(\sigma\): * Участок I: \(\sigma = 5 \text{ кН/см}^2\) * Участок II: \(\sigma = 8.5 \text{ кН/см}^2\) * Участок III: \(\sigma = 3.5 \text{ кН/см}^2\) Эпюра перемещений \(w\): * Начало бруса (\(z=0\)): \(w = 0\) * На границе 1-2 участков (\(z=l_1\)): \(w \approx 0.00476 \text{ см}\) * На границе 2-3 участков (\(z=l_1+l_2\)): \(w \approx 0.0169 \text{ см}\) * Конец бруса (\(z=l_1+l_2+l_3\)): \(w \approx 0.02023 \text{ см}\) Полная деформация бруса: \(\Delta L \approx 0.02023 \text{ см}\).