Задача 18. Каждому из четырёх неравенств в первом столбце соответствует одно из решений во втором столбце. Установи соответствие между неравенствами и их решениями.
НЕРАВЕНСТВА
А) \(5^{-x+2} < 0,04\)
Б) \(\frac{(x-4)^2}{x-1} < 0\)
В) \(\log_4 x < 1\)
Г) \((x-4)(x-1) < 0\)
РЕШЕНИЯ
1) \((-\infty; 1)\)
2) \((0; 4)\)
3) \((1; 4)\)
4) \((4; +\infty)\)
Решение:
Разберём неравенство А) \(5^{-x+2} < 0,04\)
1. Преобразуем десятичную дробь \(0,04\) в обыкновенную и представим её как степень числа 5:
\[0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}\] \[\frac{1}{25} = \frac{1}{5^2} = 5^{-2}\]2. Теперь неравенство выглядит так:
\[5^{-x+2} < 5^{-2}\]3. Так как основание степени (5) больше 1, то при сравнении показателей степени знак неравенства сохраняется:
\[-x+2 < -2\]4. Решим линейное неравенство:
\[-x < -2 - 2\] \[-x < -4\]5. Умножим обе части на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
\[x > 4\]Это соответствует интервалу \((4; +\infty)\).
Соответствие: А - 4
Разберём неравенство Б) \(\frac{(x-4)^2}{x-1} < 0\)
1. Используем метод интервалов. Найдём нули числителя и знаменателя.
Числитель \((x-4)^2 = 0\) при \(x = 4\).
Знаменатель \(x-1 = 0\) при \(x = 1\).
2. Отметим эти точки на числовой прямой: 1 и 4. Точка 1 будет выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю. Точка 4 также будет выколотой, так как неравенство строгое (< 0).
3. Рассмотрим знаки выражения на полученных интервалах:
- Если \(x < 1\), например \(x=0\): \(\frac{(0-4)^2}{0-1} = \frac{16}{-1} = -16 < 0\). Интервал \((-\infty; 1)\) подходит.
- Если \(1 < x < 4\), например \(x=2\): \(\frac{(2-4)^2}{2-1} = \frac{(-2)^2}{1} = \frac{4}{1} = 4 > 0\). Интервал \((1; 4)\) не подходит.
- Если \(x > 4\), например \(x=5\): \(\frac{(5-4)^2}{5-1} = \frac{1^2}{4} = \frac{1}{4} > 0\). Интервал \((4; +\infty)\) не подходит.
4. Обратите внимание на множитель \((x-4)^2\). Он всегда неотрицателен. Если \((x-4)^2 > 0\), то знак всего выражения определяется знаком знаменателя \(x-1\). Если \((x-4)^2 = 0\), то есть \(x=4\), то всё выражение равно 0, что не удовлетворяет строгому неравенству \(< 0\).
Таким образом, нам нужно, чтобы \(x-1 < 0\) и \(x \neq 4\).
Из \(x-1 < 0\) следует \(x < 1\).
Это соответствует интервалу \((-\infty; 1)\).
Соответствие: Б - 1
Разберём неравенство В) \(\log_4 x < 1\)
1. Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
\[x > 0\]2. Представим число 1 как логарифм по основанию 4:
\[1 = \log_4 4\]3. Теперь неравенство выглядит так:
\[\log_4 x < \log_4 4\]4. Так как основание логарифма (4) больше 1, то при сравнении аргументов логарифма знак неравенства сохраняется:
\[x < 4\]5. Объединим это с ОДЗ \(x > 0\):
\[0 < x < 4\]Это соответствует интервалу \((0; 4)\).
Соответствие: В - 2
Разберём неравенство Г) \((x-4)(x-1) < 0\)
1. Это квадратное неравенство. Найдём корни соответствующего квадратного уравнения \((x-4)(x-1) = 0\).
Корни: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = 4\).
2. Отметим эти корни на числовой прямой. Так как неравенство строгое (< 0), точки 1 и 4 будут выколотыми.
3. Парабола \(y = (x-4)(x-1)\) имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при \(x^2\) положительный). Значит, функция будет отрицательна между корнями.
4. Интервалы знаков:
- Если \(x < 1\), например \(x=0\): \((0-4)(0-1) = (-4)(-1) = 4 > 0\).
- Если \(1 < x < 4\), например \(x=2\): \((2-4)(2-1) = (-2)(1) = -2 < 0\). Этот интервал подходит.
- Если \(x > 4\), например \(x=5\): \((5-4)(5-1) = (1)(4) = 4 > 0\).
5. Решением неравенства является интервал \((1; 4)\).
Соответствие: Г - 3
Итоговое соответствие:
- А - 4
- Б - 1
- В - 2
- Г - 3
В ответе запиши последовательность цифр, которая соответствует буквам в порядке АБВГ.
Ответ: 4123