Задача 19. Найди натуральное трёхзначное число, если известно, что оно кратно 36 и что произведение его цифр равно 20. В ответе укажи какое-либо одно такое число.
Решение:
Пусть искомое трёхзначное число будет \(\overline{abc}\), где \(a\), \(b\), \(c\) - его цифры. При этом \(a \neq 0\).
Условие 1: Произведение цифр равно 20.
Это означает, что \(a \cdot b \cdot c = 20\).
Найдём все возможные комбинации трёх цифр (от 1 до 9), произведение которых равно 20. Учитываем, что цифры могут повторяться.
Разложим 20 на простые множители: \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\).
Возможные наборы цифр (в любом порядке):
- \((1, 4, 5)\) - так как \(1 \cdot 4 \cdot 5 = 20\).
- \((2, 2, 5)\) - так как \(2 \cdot 2 \cdot 5 = 20\).
Других комбинаций из однозначных чисел нет (например, \(1 \cdot 2 \cdot 10\) не подходит, так как 10 - не цифра).
Условие 2: Число кратно 36.
Если число кратно 36, это означает, что оно кратно одновременно 4 и 9 (так как \(36 = 4 \cdot 9\), а 4 и 9 взаимно простые числа).
- Признак делимости на 4: Число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4.
- Признак делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Теперь рассмотрим каждый набор цифр.
Случай 1: Набор цифр \((1, 4, 5)\).
Сумма цифр: \(1 + 4 + 5 = 10\). 10 не делится на 9, значит, ни одно число, составленное из этих цифр, не будет делиться на 9, а следовательно, и на 36.
Этот набор цифр нам не подходит.
Случай 2: Набор цифр \((2, 2, 5)\).
Сумма цифр: \(2 + 2 + 5 = 9\). 9 делится на 9, значит, любое число, составленное из этих цифр, будет делиться на 9.
Теперь нужно проверить признак делимости на 4. Составим все возможные трёхзначные числа из цифр 2, 2, 5 и проверим их на делимость на 4:
- Число 225: Последние две цифры образуют число 25. \(25 \div 4\) с остатком. Не делится на 4.
- Число 252: Последние две цифры образуют число 52. \(52 \div 4 = 13\). Делится на 4. Проверим: 252 делится на 9 (сумма цифр 9). 252 делится на 4 (52 делится на 4). Значит, 252 делится на 36. \(252 \div 36 = 7\).
- Число 522: Последние две цифры образуют число 22. \(22 \div 4\) с остатком. Не делится на 4.
Мы нашли число 252, которое удовлетворяет обоим условиям: оно трёхзначное, произведение его цифр \(2 \cdot 5 \cdot 2 = 20\), и оно кратно 36.
Ответ:
252