Задача 20. Маша решает тест из 110 заданий одной сложности на два часа меньше, чем Даша решает тест из 119 таких же заданий. Маша решает быстрее Даши на 5 заданий в час. Сколько заданий в час решает Маша?
Решение:
Обозначим скорость решения заданий Машей как \(V_М\) (заданий в час) и скорость решения заданий Дашей как \(V_Д\) (заданий в час).
Шаг 1: Запишем известные данные в виде уравнений.
1. Маша решает быстрее Даши на 5 заданий в час:
\[V_М = V_Д + 5\]Отсюда можно выразить скорость Даши: \(V_Д = V_М - 5\).
2. Время, за которое Маша решает 110 заданий, на 2 часа меньше, чем время, за которое Даша решает 119 заданий.
Формула для времени: \(\text{Время} = \frac{\text{Количество заданий}}{\text{Скорость}}\).
Время Маши: \(T_М = \frac{110}{V_М}\)
Время Даши: \(T_Д = \frac{119}{V_Д}\)
По условию, \(T_М = T_Д - 2\). Подставим выражения для времени:
\[\frac{110}{V_М} = \frac{119}{V_Д} - 2\]Шаг 2: Подставим \(V_Д\) в уравнение со временем.
Мы знаем, что \(V_Д = V_М - 5\). Подставим это в уравнение:
\[\frac{110}{V_М} = \frac{119}{V_М - 5} - 2\]Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \(V_М\).
1. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы привести к общему знаменателю:
\[\frac{110}{V_М} - \frac{119}{V_М - 5} + 2 = 0\]2. Приведём к общему знаменателю \(V_М(V_М - 5)\):
\[\frac{110(V_М - 5) - 119V_М + 2V_М(V_М - 5)}{V_М(V_М - 5)} = 0\]3. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому \(V_М \neq 0\) и \(V_М \neq 5\). Приравняем числитель к нулю:
\[110(V_М - 5) - 119V_М + 2V_М(V_М - 5) = 0\]4. Раскроем скобки:
\[110V_М - 550 - 119V_М + 2V_М^2 - 10V_М = 0\]5. Приведём подобные слагаемые:
\[2V_М^2 + (110 - 119 - 10)V_М - 550 = 0\] \[2V_М^2 - 19V_М - 550 = 0\]Шаг 4: Решим квадратное уравнение.
Используем формулу для корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
Здесь \(a=2\), \(b=-19\), \(c=-550\).
Вычислим дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):
\[D = (-19)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-550)\] \[D = 361 + 8 \cdot 550\] \[D = 361 + 4400\] \[D = 4761\]Найдём \(\sqrt{D}\):
\[\sqrt{4761} = 69\]Теперь найдём корни \(V_М\):
\[V_{М1} = \frac{-(-19) + 69}{2 \cdot 2} = \frac{19 + 69}{4} = \frac{88}{4} = 22\] \[V_{М2} = \frac{-(-19) - 69}{2 \cdot 2} = \frac{19 - 69}{4} = \frac{-50}{4} = -12,5\]Шаг 5: Выберем подходящий корень.
Скорость решения заданий не может быть отрицательной, поэтому \(V_{М2} = -12,5\) не подходит.
Значит, скорость Маши \(V_М = 22\) задания в час.
Шаг 6: Проверим ответ (необязательно).
Если \(V_М = 22\), то \(V_Д = V_М - 5 = 22 - 5 = 17\) заданий в час.
Время Маши: \(T_М = \frac{110}{22} = 5\) часов.
Время Даши: \(T_Д = \frac{119}{17} = 7\) часов.
Разница во времени: \(T_Д - T_М = 7 - 5 = 2\) часа. Это соответствует условию задачи.
Ответ:
Маша решает 22 задания в час.