Электродинамика. Изменения в процессах
Задача: Частица массой \(m\), имеющая заряд \(q\), движется в однородном магнитном поле с индукцией \(B\) по окружности радиусом \(R\) со скоростью \(v\). Как изменятся радиус траектории \(R\), период обращения \(T\) и кинетическая энергия частицы \(E_k\) при увеличении скорости её движения?
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить основные формулы, описывающие движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.
1. Сила Лоренца:
На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. Если скорость частицы перпендикулярна вектору магнитной индукции (что и происходит при движении по окружности), то модуль силы Лоренца равен:
\[F_Л = |q|vB\]Эта сила является центростремительной силой, которая заставляет частицу двигаться по окружности.
2. Центростремительная сила:
Центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, определяется формулой:
\[F_{цс} = \frac{mv^2}{R}\]3. Радиус траектории \(R\):
Приравниваем силу Лоренца к центростремительной силе, так как сила Лоренца выполняет роль центростремительной силы:
\[|q|vB = \frac{mv^2}{R}\]Выразим из этого уравнения радиус \(R\):
\[R = \frac{mv^2}{|q|vB}\]Сократим \(v\) в числителе и знаменателе:
\[R = \frac{mv}{|q|B}\]Из этой формулы видно, что радиус траектории \(R\) прямо пропорционален скорости \(v\). Это означает, что при увеличении скорости \(v\), радиус траектории \(R\) увеличится.
4. Период обращения \(T\):
Период обращения \(T\) – это время, за которое частица совершает один полный оборот по окружности. Он связан со скоростью \(v\) и радиусом \(R\) формулой:
\[T = \frac{2\pi R}{v}\]Теперь подставим в эту формулу выражение для \(R\), которое мы нашли ранее:
\[T = \frac{2\pi \left(\frac{mv}{|q|B}\right)}{v}\]Сократим \(v\) в числителе и знаменателе:
\[T = \frac{2\pi m}{|q|B}\]Из этой формулы видно, что период обращения \(T\) не зависит от скорости \(v\). Он зависит только от массы частицы \(m\), её заряда \(q\) и индукции магнитного поля \(B\). Это означает, что при увеличении скорости \(v\), период обращения \(T\) не изменится.
5. Кинетическая энергия частицы \(E_k\):
Кинетическая энергия частицы определяется формулой:
\[E_k = \frac{mv^2}{2}\]Из этой формулы видно, что кинетическая энергия \(E_k\) прямо пропорциональна квадрату скорости \(v\). Это означает, что при увеличении скорости \(v\), кинетическая энергия частицы \(E_k\) увеличится.
Выводы:
При увеличении скорости движения частицы:
- Радиус траектории \(R\) увеличится.
- Период обращения \(T\) не изменится.
- Кинетическая энергия частицы \(E_k\) увеличится.
Ответы для заполнения:
Период обращения \(T\): Не изменится
Радиус траектории \(R\): Увеличится
Кинетическая энергия частицы \(E_k\): Увеличится