Соленоид в магнитном поле
Условие задачи:
Соленоид, содержащий \(N = 1000\) витков провода, находится в поле, индукция которого меняется со скоростью \(\frac{\Delta B}{\Delta t} = 20\) мТл/с. Ось соленоида составляет с магнитным полем угол \(\alpha = 60^\circ\). Радиус соленоида \(R = 2\) см. Число \(\pi = 3,14\).
Вопрос 1: Выберите верное выражение для магнитного потока сквозь один виток данного соленоида:
Решение Вопроса 1:
Магнитный поток \(\Phi\) через плоскую поверхность (в данном случае, через один виток соленоида) в однородном магнитном поле определяется формулой:
\[\Phi = B \cdot S \cdot \cos \alpha\]где:
- \(B\) – модуль вектора магнитной индукции.
- \(S\) – площадь поверхности витка.
- \(\alpha\) – угол между вектором магнитной индукции \(\vec{B}\) и нормалью к плоскости витка (осью соленоида).
В условии задачи сказано, что ось соленоида составляет с магнитным полем угол \(\alpha = 60^\circ\). Это и есть угол между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости витка.
Таким образом, верное выражение для магнитного потока через один виток будет:
\[\Phi = B \cdot S \cdot \cos 60^\circ\]Важно отметить, что в формуле магнитного потока используется текущее значение индукции \(B\), а не её изменение \(\Delta B\). Изменение индукции \(\Delta B\) или скорость изменения \(\frac{\Delta B}{\Delta t}\) используются для расчета ЭДС индукции, но не для самого магнитного потока в данный момент времени.
Ответ на Вопрос 1:
Верное выражение: \(\Phi = B \cdot S \cdot \cos 60^\circ\)
Вопрос 2: Определить модуль ЭДС индукции \(\mathcal{E}_i\), возникающую в соленоиде при изменении магнитного поля. Ответ выразить в мВ, округлив до десятых.
Решение Вопроса 2:
1. Запишем данные:
- Число витков \(N = 1000\)
- Скорость изменения магнитной индукции \(\frac{\Delta B}{\Delta t} = 20\) мТл/с
- Угол между осью соленоида и магнитным полем \(\alpha = 60^\circ\)
- Радиус соленоида \(R = 2\) см
- Число \(\pi = 3,14\)
2. Переведем величины в систему СИ:
- \(\frac{\Delta B}{\Delta t} = 20\) мТл/с \( = 20 \cdot 10^{-3}\) Тл/с
- \(R = 2\) см \( = 0,02\) м
3. Найдем площадь одного витка \(S\):
Поскольку виток имеет форму окружности, его площадь равна:
\[S = \pi R^2\] \[S = 3,14 \cdot (0,02 \text{ м})^2\] \[S = 3,14 \cdot 0,0004 \text{ м}^2\] \[S = 0,001256 \text{ м}^2\]4. Определим изменение магнитного потока через один виток:
Изменение магнитного потока \(\Delta \Phi\) через один виток за время \(\Delta t\) можно выразить как:
\[\Delta \Phi = \Delta B \cdot S \cdot \cos \alpha\]Тогда скорость изменения магнитного потока через один виток будет:
\[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot S \cdot \cos \alpha\]Подставим значения:
\[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = (20 \cdot 10^{-3} \text{ Тл/с}) \cdot (0,001256 \text{ м}^2) \cdot \cos 60^\circ\]Мы знаем, что \(\cos 60^\circ = 0,5\).
\[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = (20 \cdot 10^{-3}) \cdot (0,001256) \cdot 0,5\] \[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = 0,01 \cdot 0,001256\] \[\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = 0,00001256 \text{ Вб/с}\]5. Определим модуль ЭДС индукции \(\mathcal{E}_i\) в соленоиде:
Согласно закону Фарадея для электромагнитной индукции, ЭДС индукции в соленоиде с \(N\) витками равна:
\[\mathcal{E}_i = N \cdot \left| \frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \right|\]Подставим значения:
\[\mathcal{E}_i = 1000 \cdot 0,00001256 \text{ В}\] \[\mathcal{E}_i = 0,01256 \text{ В}\]6. Выразим ответ в мВ и округлим до десятых:
Чтобы перевести вольты в милливольты, нужно умножить на 1000:
\[\mathcal{E}_i = 0,01256 \text{ В} \cdot 1000 = 12,56 \text{ мВ}\]Округлим до десятых:
\[\mathcal{E}_i \approx 12,6 \text{ мВ}\]Ответ на Вопрос 2:
Модуль ЭДС индукции \(\mathcal{E}_i = 12,6\) мВ.