Задача:
На рисунке изображены оптическая ось тонкой собирающей линзы, предмет AB и изображение предмета A'B', полученное с помощью этой линзы. Масштаб указан на чертеже.
Определите верную характеристику полученного изображения из предложенных. Данное изображение является ...
Определите оптическую силу линзы.
Решение:
Часть 1: Характеристика изображения
1. Построение линзы и её фокусов:
- На рисунке дана главная оптическая ось (г.о.о.).
- Предмет AB находится слева от линзы, изображение A'B' — справа. Это означает, что линза находится между предметом и изображением.
- Чтобы найти положение линзы, проведём прямую через точки B и B'. Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью будет оптическим центром линзы. На рисунке видно, что оптический центр линзы находится на главной оптической оси, примерно в 10 клетках от точки A' вправо.
- Чтобы найти фокусы линзы, используем свойства лучей:
- Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется.
- Луч, параллельный главной оптической оси, после преломления проходит через фокус.
- Луч, проходящий через фокус, после преломления идёт параллельно главной оптической оси.
- Проведём луч из точки B параллельно главной оптической оси до линзы. После преломления он должен пройти через фокус F и точку B'.
- Проведём луч из точки B через оптический центр линзы. Он должен пройти через точку B' без преломления.
- Точка пересечения преломлённого луча (параллельного оси) с главной оптической осью даст нам фокус F.
- Построение показывает, что линза находится примерно в 10 клетках от A' вправо. Фокусное расстояние (расстояние от линзы до фокуса) можно определить, используя масштаб.
2. Анализ изображения:
- Действительное или мнимое: Изображение A'B' находится по другую сторону от линзы относительно предмета AB. Лучи, формирующие это изображение, действительно пересекаются. Следовательно, изображение действительное.
- Прямое или перевёрнутое: Предмет AB направлен "вверх" (относительно точки A, которая на оси). Изображение A'B' направлено "вниз" (относительно точки A', которая на оси). То есть, изображение перевёрнутое.
- Увеличенное или уменьшенное:
- Измерим высоту предмета AB. Точка A находится на оси. Точка B находится на 4 клетках выше оси и на 4 клетках левее A. Высота предмета (перпендикулярная оси) составляет 4 клетки.
- Измерим высоту изображения A'B'. Точка A' находится на оси. Точка B' находится на 2 клетках ниже оси и на 2 клетках правее A'. Высота изображения (перпендикулярная оси) составляет 2 клетки.
- Так как высота изображения (2 клетки) меньше высоты предмета (4 клетки), изображение уменьшенное.
Таким образом, изображение является действительным, перевёрнутым, уменьшенным.
Из предложенных вариантов, единственная верная характеристика, которая может быть выбрана, это "действительным".
Часть 2: Оптическая сила линзы
1. Определим масштаб: На рисунке указано, что 5 см соответствуют 5 клеткам. Значит, 1 клетка = 1 см.
2. Определим положение линзы:
- Проведём прямую через B и B'. Она пересечёт главную оптическую ось в оптическом центре линзы.
- Построение показывает, что оптический центр линзы находится на 10 клетках правее точки A'.
- Расстояние от A до оптического центра линзы (расстояние до предмета, \( d \)):
- Точка A находится на 10 клетках левее оптического центра.
- Значит, \( d = 10 \text{ клеток} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \).
- Расстояние от A' до оптического центра линзы (расстояние до изображения, \( f \)):
- Точка A' находится на 10 клетках левее оптического центра.
- Значит, \( f = 10 \text{ клеток} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} \).
3. Используем формулу тонкой линзы:
Для собирающей линзы и действительного изображения формула имеет вид:
\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]
Где \( d \) — расстояние от предмета до линзы, \( f \) — расстояние от изображения до линзы, \( F \) — фокусное расстояние линзы.
4. Вычислим фокусное расстояние \( F \):
\[ \frac{1}{0.1 \text{ м}} + \frac{1}{0.1 \text{ м}} = \frac{1}{F} \]
\[ 10 \text{ м}^{-1} + 10 \text{ м}^{-1} = \frac{1}{F} \]
\[ 20 \text{ м}^{-1} = \frac{1}{F} \]
\[ F = \frac{1}{20} \text{ м} = 0.05 \text{ м} = 5 \text{ см} \]
5. Вычислим оптическую силу линзы \( D \):
Оптическая сила линзы \( D \) определяется как величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах:
\[ D = \frac{1}{F} \]
\[ D = \frac{1}{0.05 \text{ м}} = 20 \text{ дптр} \]
Внимание: При внимательном рассмотрении рисунка и построении, можно заметить, что предмет AB находится на расстоянии 12 клеток от оптического центра линзы, а изображение A'B' находится на расстоянии 6 клеток от оптического центра линзы. Давайте перепроверим измерения.
Перепроверка измерений:
1. Определим положение оптического центра линзы (О):
- Проведём прямую через точки B и B'.
- Точка B находится на 4 клетках выше оси. Точка B' находится на 2 клетках ниже оси.
- Горизонтальное расстояние от B до B' составляет 12 клеток (отсчитывая от вертикальной линии, проходящей через B, до вертикальной линии, проходящей через B').
- Используя подобие треугольников (треугольник, образованный B, O и проекцией B на ось, и треугольник, образованный B', O и проекцией B' на ось), можно найти положение O. Пусть \( x_B \) - горизонтальная координата B, \( x_{B'} \) - горизонтальная координата B', \( x_O \) - горизонтальная координата O. Высота B: \( h_B = 4 \) клетки. Высота B': \( h_{B'} = 2 \) клетки. Расстояние от B до O: \( d = |x_O - x_B| \). Расстояние от B' до O: \( f = |x_{B'} - x_O| \). Подобие: \( \frac{h_B}{d} = \frac{h_{B'}}{f} \Rightarrow \frac{4}{d} = \frac{2}{f} \Rightarrow d = 2f \). Общее горизонтальное расстояние между проекциями B и B' на ось: \( d + f = 12 \) клеток. Подставим \( d = 2f \): \( 2f + f = 12 \Rightarrow 3f = 12 \Rightarrow f = 4 \) клетки. Тогда \( d = 2 \times 4 = 8 \) клеток.
- Значит, оптический центр линзы находится на 8 клетках правее проекции B на ось (или на 4 клетках левее проекции B' на ось).
2. Расстояния до предмета и изображения:
- Расстояние от предмета до линзы \( d = 8 \text{ клеток} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м} \).
- Расстояние от изображения до линзы \( f = 4 \text{ клетки} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} \).
3. Вычислим фокусное расстояние \( F \):
\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{1}{0.08 \text{ м}} + \frac{1}{0.04 \text{ м}} = \frac{1}{F} \]
\[ 12.5 \text{ м}^{-1} + 25 \text{ м}^{-1} = \frac{1}{F} \]
\[ 37.5 \text{ м}^{-1} = \frac{1}{F} \]
\[ F = \frac{1}{37.5} \text{ м} \approx 0.02666... \text{ м} \]
4. Вычислим оптическую силу линзы \( D \):
\[ D = \frac{1}{F} = 37.5 \text{ дптр} \]
Ещё раз внимательно посмотрим на рисунок и варианты ответа.
Возможно, я неправильно определил положение оптического центра или расстояния. Давайте попробуем другой подход, используя масштаб и клетки.
Масштаб: 5 см = 5 клеток, то есть 1 клетка = 1 см.
Положение предмета AB:
- Точка A находится на главной оптической оси.
- Точка B находится на 4 клетки выше оси.
Положение изображения A'B':
- Точка A' находится на главной оптической оси.
- Точка B' находится на 2 клетки ниже оси.
Определение оптического центра (О) и фокусов (F):
1. Проведём луч из B, проходящий через оптический центр O. Этот луч не преломляется и проходит через B'.
2. Проведём луч из B, параллельный главной оптической оси. После преломления он пройдёт через фокус F и точку B'.
3. Проведём луч из B, проходящий через передний фокус F. После преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси и пройдёт через B'.
Давайте используем первый и второй лучи для определения F и O.
Пусть оптический центр O находится в точке (x_O, 0).
Координаты B: (x_B, 4). Координаты B': (x_{B'}, -2).
Из рисунка: горизонтальное расстояние между проекциями B и B' на ось составляет 12 клеток.
Пусть x_B = 0. Тогда x_{B'} = 12.
Прямая BB' проходит через O(x_O, 0).
Уравнение прямой, проходящей через (x_1, y_1) и (x_2, y_2): \( \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} \)
Для B(0, 4) и B'(12, -2):
\[ \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 0}{12 - 0} \]
\[ \frac{y - 4}{-6} = \frac{x}{12} \]
\[ y - 4 = -\frac{6x}{12} \]
\[ y - 4 = -\frac{x}{2} \]
Оптический центр O находится на оси, то есть \( y = 0 \):
\[ 0 - 4 = -\frac{x_O}{2} \]
\[ -4 = -\frac{x_O}{2} \]
\[ x_O = 8 \]
Значит, оптический центр линзы находится на 8 клетках правее проекции B на ось.
Расстояние от предмета до линзы \( d \): \( d = x_O - x_B = 8 - 0 = 8 \text{ клеток} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м} \).
Расстояние от изображения до линзы \( f \): \( f = x_{B'} - x_O = 12 - 8 = 4 \text{ клетки} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} \).
Теперь рассчитаем оптическую силу:
\[ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} \]
\[ \frac{1}{0.08} + \frac{1}{0.04} = \frac{1}{F} \]
\[ 12.5 + 25 = \frac{1}{F} \]
\[ 37.5 = \frac{1}{F} \]
\[ D = \frac{1}{F} = 37.5 \text{ дптр} \]
Среди предложенных вариантов нет 37.5 дптр. Это может указывать на то, что либо мои измерения/расчеты неточны, либо в задаче есть неточность, либо я должен выбрать ближайший вариант.
Давайте ещё раз посмотрим на рисунок и попробуем определить фокусное расстояние графически.
Если оптический центр находится на 8 клетках от B, то линза проходит через эту точку.
Луч из B, параллельный оси, падает на линзу в точке (8, 4). После преломления он должен пройти через B'(12, -2) и фокус F(x_F, 0).
Уравнение прямой, проходящей через (8, 4) и (12, -2):
\[ \frac{y - 4}{-2 - 4} = \frac{x - 8}{12 - 8} \]
\[ \frac{y - 4}{-6} = \frac{x - 8}{4} \]
\[ 4(y - 4) = -6(x - 8) \]
\[ 4y - 16 = -6x + 48 \]
\[ 4y = -6x + 64 \]
\[ y = -\frac{3}{2}x + 16 \]
Фокус F находится на оси, то есть \( y = 0 \):
\[ 0 = -\frac{3}{2}x_F + 16 \]
\[ \frac{3}{2}x_F = 16 \]
\[ x_F = \frac{32}{3} \approx