Изображение в линзе: решение задачи

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Изображение в линзе

На рисунке изображены оптическая ось тонкой собирающей линзы, предмет \(AB\) и изображение предмета \(A'B'\), полученное с помощью этой линзы. Масштаб указан на чертеже.

1. Определите верную характеристику полученного изображения из предложенных. Данное изображение является...

Для определения характеристик изображения, полученного с помощью собирающей линзы, нужно проанализировать рисунок.

На рисунке видно, что:

• Предмет \(AB\) расположен выше главной оптической оси.
• Изображение \(A'B'\) расположено ниже главной оптической оси. Это означает, что изображение перевёрнутое.
• Если изображение перевёрнутое, то оно всегда действительное. Мнимые изображения в собирающей линзе всегда прямые.
• Сравним размеры предмета и изображения. По клеточкам можно определить, что длина предмета \(AB\) составляет примерно 5 клеток по горизонтали и 3 клетки по вертикали (от точки A до точки B). Длина изображения \(A'B'\) составляет примерно 3 клетки по горизонтали и 2 клетки по вертикали (от точки A' до точки B'). Таким образом, изображение уменьшенное.

Из предложенных вариантов:

• мнимым (неверно, так как изображение перевёрнутое)
• увеличенным (неверно, изображение уменьшенное)
• прямым (неверно, изображение перевёрнутое)
• действительным (верно, так как изображение перевёрнутое)
• зеркальным (неверно, это характеристика зеркал, а не линз)

Ответ: действительным.

2. Определить оптическую силу линзы.

Для определения оптической силы линзы \(D\) нам нужно найти её фокусное расстояние \(F\). Оптическая сила выражается формулой:

\[D = \frac{1}{F}\]

где \(F\) измеряется в метрах, а \(D\) в диоптриях (дптр).

На рисунке изображены предмет \(AB\) и его изображение \(A'B'\). Мы можем использовать построение лучей для нахождения положения линзы и её фокусов.

Шаг 1: Определим масштаб.

На рисунке указано, что 5 см соответствуют 5 клеткам. Значит, 1 клетка = 1 см.

Шаг 2: Построение лучей для определения положения линзы и фокусов.

Возьмём точку B предмета и точку B' её изображения.

1. Проведём луч из точки B через оптический центр линзы. Этот луч не преломляется. Он должен пройти через точку B'.
2. Проведём луч из точки B параллельно главной оптической оси. После преломления в линзе этот луч пройдёт через задний фокус \(F\).
3. Проведём луч из точки B через передний фокус \(F\). После преломления в линзе этот луч пойдёт параллельно главной оптической оси.

Построим эти лучи на чертеже (мысленно или на отдельном листе):

• Точка A находится на главной оптической оси. Точка A' также находится на главной оптической оси.
• Из рисунка видно, что точка A находится на расстоянии 6 клеток от точки A' по горизонтали.
• Точка B находится на 3 клетки выше главной оптической оси и на 5 клеток левее точки A.
• Точка B' находится на 2 клетки ниже главной оптической оси и на 3 клетки правее точки A'.

Давайте определим координаты точек, если оптический центр линзы находится в начале координат (0,0) на главной оптической оси.

Предположим, что линза находится в точке, где пересекаются прямая, соединяющая B и B', и главная оптическая ось. Построим прямую, соединяющую B и B'.

Координаты точек (в клетках, 1 клетка = 1 см):

• A: (-11, 0) (если A' находится в (0,0) на оси, то A находится на 6 клеток левее A', то есть (-6,0) относительно A'. Но A' не в (0,0). Давайте отсчитывать от некоторой условной точки.)

Давайте попробуем найти положение линзы и фокусов, используя свойства лучей.

1. Луч, проходящий через оптический центр линзы, не преломляется. Соединим точки B и B' прямой линией. Точка пересечения этой прямой с главной оптической осью будет оптическим центром линзы.

По рисунку:

• Точка B: (-10, 3) (если считать от правого края сетки, где 5 см, как 0,0)
• Точка B': (3, -2)

Уравнение прямой, проходящей через B и B':

\[\frac{y - y_1}{x - x_1} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\] \[\frac{y - 3}{x - (-10)} = \frac{-2 - 3}{3 - (-10)}\] \[\frac{y - 3}{x + 10} = \frac{-5}{13}\]

Чтобы найти точку пересечения с главной оптической осью (где \(y = 0\)):

\[\frac{0 - 3}{x + 10} = \frac{-5}{13}\] \[\frac{-3}{x + 10} = \frac{-5}{13}\] \[-3 \cdot 13 = -5 \cdot (x + 10)\] \[-39 = -5x - 50\] \[5x = -50 + 39\] \[5x = -11\] \[x = -2.2\]

Значит, оптический центр линзы находится на расстоянии 2.2 клетки (2.2 см) левее точки A'.

Теперь, зная положение линзы, мы можем найти фокусное расстояние.

Расстояние от предмета до линзы \(d\):

Точка A находится на 11 клетках левее оптического центра линзы (10 клеток до B, и B на 1 клетку левее A). Точка A находится на 11 клетках от оптического центра линзы. То есть \(d = 11\) см.

Расстояние от изображения до линзы \(f\):

Точка A' находится на 2.2 клетках правее оптического центра линзы. То есть \(f = 2.2\) см.

Используем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}\]

Подставим значения \(d = 11\) см и \(f = 2.2\) см:

\[\frac{1}{11} + \frac{1}{2.2} = \frac{1}{F}\] \[\frac{1}{11} + \frac{10}{22} = \frac{1}{F}\] \[\frac{1}{11} + \frac{5}{11} = \frac{1}{F}\] \[\frac{6}{11} = \frac{1}{F}\] \[F = \frac{11}{6} \text{ см}\] \[F \approx 1.833 \text{ см}\]

Теперь переведём фокусное расстояние в метры:

\[F = \frac{11}{6} \cdot 0.01 \text{ м} = \frac{11}{600} \text{ м}\]

Оптическая сила линзы \(D\):

\[D = \frac{1}{F} = \frac{1}{\frac{11}{600}} = \frac{600}{11} \text{ дптр}\] \[D \approx 54.54 \text{ дптр}\]

Что-то не сходится с вариантами ответов. Давайте перепроверим построение и измерения.

Попробуем другой способ: построение лучей.

1. Проведём луч из B параллельно главной оптической оси до линзы. После преломления он пройдёт через B' и фокус F.

2. Проведём луч из B через передний фокус F до линзы. После преломления он пойдёт параллельно главной оптической оси и пройдёт через B'.

Давайте попробуем определить положение линзы и фокусов более точно по клеточкам.

Предмет AB: A на оси, B на 3 клетки вверх. Длина AB по вертикали = 3 клетки.

Изображение A'B': A' на оси, B' на 2 клетки вниз. Длина A'B' по вертикали = 2 клетки.

Увеличение линзы \(Г = \frac{H'}{H} = \frac{2 \text{ клетки}}{3 \text{ клетки}} = \frac{2}{3}\).

Также \(Г = \frac{f}{d}\), где \(d\) - расстояние от предмета до линзы, \(f\) - расстояние от изображения до линзы.

\[\frac{f}{d} = \frac{2}{3} \implies f = \frac{2}{3}d\]

Теперь определим положение линзы. На рисунке видно, что расстояние между A и A' составляет 6 клеток. Пусть линза находится на расстоянии \(x\) от A. Тогда расстояние от A до линзы \(d = x\). Расстояние от A' до линзы \(f = (6 - x)\).

Тогда:

\[\frac{6 - x}{x} = \frac{2}{3}\] \[3(6 - x) = 2x\] \[18 - 3x = 2x\] \[18 = 5x\] \[x = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ клетки}\]

Значит, линза находится на расстоянии 3.6 клеток от A. \(d = 3.6\) клетки = 3.6 см. \(f = 6 - 3.6 = 2.4\) клетки = 2.4 см.

Теперь используем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}\] \[\frac{1}{3.6} + \frac{1}{2.4} = \frac{1}{F}\]

Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{10}{36} + \frac{10}{24} = \frac{1}{F}\] \[\frac{5}{18} + \frac{5}{12} = \frac{1}{F}\]

Общий знаменатель для 18 и 12 - это 36:

\[\frac{5 \cdot 2}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} = \frac{1}{F}\] \[\frac{10}{36} + \frac{15}{36} = \frac{1}{F}\] \[\frac{25}{36} = \frac{1}{F}\] \[F = \frac{36}{25} \text{ см}\] \[F = 1.44 \text{ см}\]

Переведём фокусное расстояние в метры:

\[F = 1.44 \text{ см} = 0.0144 \text{ м}\]

Оптическая сила линзы \(D\):

\[D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.0144}\] \[D \approx 69.44 \text{ дптр}\]

Это всё ещё не соответствует предложенным вариантам. Возможно, я неправильно определил положение точек B и B' относительно главной оптической оси или расстояние между A и A'.

Давайте ещё раз внимательно посмотрим на рисунок и масштаб.

Масштаб: 5 см = 5 клеток. Значит, 1 клетка = 1 см.

Положение точек:

• Точка A: Пусть её координата по оси x будет \(x_A\). Её координата по y = 0.
• Точка B: \(x_B\), \(y_B\).
• Точка A': \(x_{A'}\), \(y_{A'}\) = 0.
• Точка B': \(x_{B'}\), \(y_{B'}\).

Из рисунка:

• Высота предмета \(H = y_B\). Посчитаем клетки от главной оптической оси до B: 3 клетки. Значит, \(H = 3\) см.
• Высота изображения \(H' = |y_{B'}|\). Посчитаем клетки от главной оптической оси до B': 2 клетки. Значит, \(H' = 2\) см.

Увеличение \(Г = \frac{H'}{H} = \frac{2}{3}\).

Теперь расстояния по горизонтали.

Расстояние от A до A' по горизонтали: 6 клеток. Значит, 6 см.

Пусть линза находится на расстоянии \(d\) от предмета и \(f\) от изображения.

Для собирающей линзы, когда изображение действительное и перевёрнутое, предмет и изображение находятся по разные стороны от линзы.

Расстояние между предметом и изображением \(L = d + f\).

Из рисунка \(L = 6\) см.

У нас есть система уравнений:

1. \(f = \frac{2}{3}d\)
2. \(d + f = 6\)

Подставим (1) в (2):

\[d + \frac{2}{3}d = 6\] \[\frac{3d + 2d}{3} = 6\] \[\frac{5d}{3} = 6\] \[5d = 18\] \[d = \frac{18}{5} = 3.6 \text{ см}\]

Теперь найдём \(f\):

\[f = 6 - d = 6 - 3.6 = 2.4 \text{ см}\]

Теперь используем формулу тонкой линзы:

\[\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}\] \[\frac{1}{3.6} + \frac{1}{2.4} = \frac{1}{F}\] \[\frac{10}{36} + \frac{10}{24} = \frac{1}{F}\] \[\frac{5}{18} + \frac{5}{12} = \frac{1}{F}\]

Общий знаменатель 36:

\[\frac{5 \cdot 2}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} = \frac{1}{F}\] \[\frac{10}{36} + \frac{15}{36} = \frac{1}{F}\] \[\frac{25}{36} = \frac{1}{F}\] \[F = \frac{36}{25} \text{ см} = 1.44 \text{ см}\]

Переводим фокусное расстояние в метры:

\[F = 1.44 \text{ см} = 0.0144 \text{ м}\]

Оптическая сила линзы \(D\):

\[D = \frac{1}{F} = \frac{1}{0.0144} \text{ дптр}\] \[D \approx 69.44 \text{ дптр}\]

Я снова получил тот