Решение задачи: Интерференция света (Оптика)

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.

Задача по оптике (Интерференция света)

Условие задачи:

В некоторую точку приходят когерентные волны с разностью хода \(\Delta d = 2,4\) мкм. В первом случае волны созданы когерентными источниками красного цвета с длиной волны \(\lambda_1 = 720\) нм, во втором случае — источниками зелёного света с длиной волны \(\lambda_2 = 540\) нм, в третьем случае — источниками фиолетового света с длиной волны \(\lambda_3 = 400\) нм. Для лучей какого цвета наблюдается максимум интерференции?

Дано:

Разность хода: \(\Delta d = 2,4\) мкм Длина волны красного света: \(\lambda_1 = 720\) нм Длина волны зелёного света: \(\lambda_2 = 540\) нм Длина волны фиолетового света: \(\lambda_3 = 400\) нм

Найти:

Для какого цвета наблюдается максимум интерференции.

Решение:

Условие максимума интерференции (усиления света) для когерентных волн выражается формулой: \[\Delta d = k \cdot \lambda\] где \(\Delta d\) — разность хода волн, \(\lambda\) — длина волны, \(k\) — целое число (порядок максимума).
Это означает, что разность хода должна быть равна целому числу длин волн. Или, что то же самое, разность хода должна быть равна четному числу полуволн (\(k \cdot \lambda = k \cdot 2 \cdot \frac{\lambda}{2}\)).
Переведем все длины волн и разность хода в одну единицу измерения, например, в нанометры (нм). \(1 \text{ мкм} = 1000 \text{ нм}\) Значит, \(\Delta d = 2,4 \text{ мкм} = 2,4 \cdot 1000 \text{ нм} = 2400 \text{ нм}\).
Теперь проверим условие максимума интерференции для каждого цвета, вычислив \(k\) для каждой длины волны: \[k = \frac{\Delta d}{\lambda}\]
1. Для красного света (\(\lambda_1 = 720\) нм): \[k_1 = \frac{2400 \text{ нм}}{720 \text{ нм}}\] \[k_1 = \frac{240}{72} = \frac{120}{36} = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3,33\] Поскольку \(k_1\) не является целым числом, для красного света максимум интерференции не наблюдается.
2. Для зелёного света (\(\lambda_2 = 540\) нм): \[k_2 = \frac{2400 \text{ нм}}{540 \text{ нм}}\] \[k_2 = \frac{240}{54} = \frac{120}{27} = \frac{40}{9} \approx 4,44\] Поскольку \(k_2\) не является целым числом, для зелёного света максимум интерференции не наблюдается.
3. Для фиолетового света (\(\lambda_3 = 400\) нм): \[k_3 = \frac{2400 \text{ нм}}{400 \text{ нм}}\] \[k_3 = \frac{24}{4} = 6\] Поскольку \(k_3 = 6\) является целым числом, для фиолетового света наблюдается максимум интерференции.
Таким образом, максимум интерференции наблюдается для фиолетового цвета. Разность хода \(\Delta d = 2400\) нм, а длина волны фиолетового света \(\lambda_3 = 400\) нм. Тогда \(\Delta d = 6 \cdot \lambda_3\). Это означает, что разность хода равна шести длинам волн, или двенадцати полуволнам. Двенадцать — это четное число.

Ответ:

Максимум интерференции в данной точке наблюдается для фиолетового цвета, так как разность хода равна четному числу полуволн.