Вариант 3
1. Найдите значение выражения:
а) \(6\frac{3}{13} \cdot 8\frac{11}{19} + 6\frac{3}{13} \cdot 4\frac{8}{19}\)
Решение:
Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель \(6\frac{3}{13}\). Вынесем его за скобки:
\(6\frac{3}{13} \cdot 8\frac{11}{19} + 6\frac{3}{13} \cdot 4\frac{8}{19} = 6\frac{3}{13} \cdot \left(8\frac{11}{19} + 4\frac{8}{19}\right)\)
Сначала сложим числа в скобках:
\(8\frac{11}{19} + 4\frac{8}{19} = (8+4) + \left(\frac{11}{19} + \frac{8}{19}\right) = 12 + \frac{11+8}{19} = 12 + \frac{19}{19} = 12 + 1 = 13\)
Теперь умножим \(6\frac{3}{13}\) на 13. Для этого переведем смешанное число в неправильную дробь:
\(6\frac{3}{13} = \frac{6 \cdot 13 + 3}{13} = \frac{78 + 3}{13} = \frac{81}{13}\)
Выполним умножение:
\(\frac{81}{13} \cdot 13 = 81\)
Ответ: 81
б) \(3\frac{3}{7} \cdot 9\frac{5}{12} - 3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{11}{18}\)
Решение:
Здесь также есть общий множитель \(3\frac{3}{7}\). Вынесем его за скобки:
\(3\frac{3}{7} \cdot 9\frac{5}{12} - 3\frac{3}{7} \cdot 2\frac{11}{18} = 3\frac{3}{7} \cdot \left(9\frac{5}{12} - 2\frac{11}{18}\right)\)
Выполним вычитание в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 12 и 18 равно 36.
\(9\frac{5}{12} - 2\frac{11}{18} = 9\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} - 2\frac{11 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 9\frac{15}{36} - 2\frac{22}{36}\)
Так как \(15 < 22\), займем единицу у целой части:
\(9\frac{15}{36} = 8 + 1 + \frac{15}{36} = 8 + \frac{36}{36} + \frac{15}{36} = 8\frac{36+15}{36} = 8\frac{51}{36}\)
Теперь выполним вычитание:
\(8\frac{51}{36} - 2\frac{22}{36} = (8-2) + \left(\frac{51}{36} - \frac{22}{36}\right) = 6 + \frac{51-22}{36} = 6 + \frac{29}{36} = 6\frac{29}{36}\)
Теперь умножим \(3\frac{3}{7}\) на \(6\frac{29}{36}\). Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
\(3\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{21+3}{7} = \frac{24}{7}\)
\(6\frac{29}{36} = \frac{6 \cdot 36 + 29}{36} = \frac{216 + 29}{36} = \frac{245}{36}\)
Выполним умножение:
\(\frac{24}{7} \cdot \frac{245}{36}\)
Сократим дроби. 24 и 36 делятся на 12: \(24 \div 12 = 2\), \(36 \div 12 = 3\). 7 и 245 делятся на 7: \(7 \div 7 = 1\), \(245 \div 7 = 35\).
\(\frac{2}{1} \cdot \frac{35}{3} = \frac{2 \cdot 35}{1 \cdot 3} = \frac{70}{3}\)
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
\(\frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}\)
Ответ: \(23\frac{1}{3}\)
2. Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Турист шел \(6\frac{7}{11}\) ч со скоростью \(3\frac{7}{15}\) км/ч и \(3\frac{7}{15}\) ч со скоростью \(3\frac{4}{11}\) км/ч. Какое расстояние прошел турист?
Решение:
Расстояние, пройденное туристом, равно сумме расстояний, пройденных на каждом участке пути. Расстояние находится по формуле: \(S = v \cdot t\), где \(S\) - расстояние, \(v\) - скорость, \(t\) - время.
Расстояние на первом участке: \(S_1 = 3\frac{7}{15} \cdot 6\frac{7}{11}\)
Расстояние на втором участке: \(S_2 = 3\frac{4}{11} \cdot 3\frac{7}{15}\)
Общее расстояние: \(S = S_1 + S_2 = 3\frac{7}{15} \cdot 6\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11} \cdot 3\frac{7}{15}\)
Заметим, что в обоих слагаемых есть общий множитель \(3\frac{7}{15}\). Вынесем его за скобки:
\(S = 3\frac{7}{15} \cdot \left(6\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11}\right)\)
Сначала сложим числа в скобках:
\(6\frac{7}{11} + 3\frac{4}{11} = (6+3) + \left(\frac{7}{11} + \frac{4}{11}\right) = 9 + \frac{7+4}{11} = 9 + \frac{11}{11} = 9 + 1 = 10\)
Теперь умножим \(3\frac{7}{15}\) на 10. Переведем смешанное число в неправильную дробь:
\(3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{45+7}{15} = \frac{52}{15}\)
Выполним умножение:
\(S = \frac{52}{15} \cdot 10 = \frac{52 \cdot 10}{15}\)
Сократим 10 и 15 на 5: \(10 \div 5 = 2\), \(15 \div 5 = 3\).
\(S = \frac{52 \cdot 2}{3} = \frac{104}{3}\)
Переведем неправильную дробь в смешанное число:
\(\frac{104}{3} = 34\frac{2}{3}\)
Ответ: Турист прошел \(34\frac{2}{3}\) км.
3. Упростите выражение \(5\frac{2}{5}a - 3\frac{7}{15}a + 7\frac{7}{10}a\) и найдите его значение при \(a = \frac{1}{289}\).
Решение:
Упростим выражение, сложив коэффициенты при \(a\). Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 5, 15 и 10 равно 30.
\(5\frac{2}{5}a - 3\frac{7}{15}a + 7\frac{7}{10}a = \left(5\frac{2}{5} - 3\frac{7}{15} + 7\frac{7}{10}\right)a\)
Переведем смешанные числа в неправильные дроби для удобства сложения и вычитания:
\(5\frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}\)
\(3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{52}{15}\)
\(7\frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{77}{10}\)
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
\(\frac{27}{5} = \frac{27 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{162}{30}\)
\(\frac{52}{15} = \frac{52 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{104}{30}\)
\(\frac{77}{10} = \frac{77 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{231}{30}\)
Теперь выполним действия:
\(\frac{162}{30} - \frac{104}{30} + \frac{231}{30} = \frac{162 - 104 + 231}{30} = \frac{58 + 231}{30} = \frac{289}{30}\)
Итак, упрощенное выражение: \(\frac{289}{30}a\)
Теперь найдем значение выражения при \(a = \frac{1}{289}\):
\(\frac{289}{30} \cdot \frac{1}{289}\)
Сократим 289 в числителе и знаменателе:
\(\frac{1}{30}\)
Ответ: Упрощенное выражение: \(\frac{289}{30}a\). Значение выражения при \(a = \frac{1}{289}\) равно \(\frac{1}{30}\).