Решение задачи: Доказать ΔAMO = ΔOPC

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Домашнее задание: Решите задачи по образцу в классной работе: к каждой задаче выполните чертёж, записать Дано, Док-ть, Док-во. 1. На рисунке 34 \(AB = BC\), \(MA = PC\), \(\angle AMO = \angle OPC\). Докажите, что \(\triangle AMO = \triangle OPC\). Чертёж: (Нарисуйте треугольник ABC, где AB=BC. Точка O лежит на AC. Точки M и P лежат на AB и BC соответственно. Проведите отрезки MO и PO. Отметьте равные углы AMO и OPC, а также равные стороны MA и PC.) Дано: Треугольник \(ABC\). \(AB = BC\). \(MA = PC\). \(\angle AMO = \angle OPC\). Доказать: \(\triangle AMO = \triangle OPC\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольник \(ABC\). Так как \(AB = BC\), то треугольник \(ABC\) является равнобедренным. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть \(\angle BAC = \angle BCA\). 3. Угол \(\angle BAC\) в треугольнике \(ABC\) совпадает с углом \(\angle MAO\) в треугольнике \(AMO\). 4. Угол \(\angle BCA\) в треугольнике \(ABC\) совпадает с углом \(\angle PCO\) в треугольнике \(OPC\). 5. Следовательно, \(\angle MAO = \angle PCO\). 6. Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle AMO\) и \(\triangle OPC\). У нас есть: а) \(MA = PC\) (по условию). б) \(\angle AMO = \angle OPC\) (по условию). в) \(\angle MAO = \angle PCO\) (доказано выше). 7. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В данном случае, у нас есть сторона \(MA\) и прилежащие к ней углы \(\angle MAO\) и \(\angle AMO\) в \(\triangle AMO\). И сторона \(PC\) и прилежащие к ней углы \(\angle PCO\) и \(\angle OPC\) в \(\triangle OPC\). Однако, условие "по стороне и двум прилежащим к ней углам" требует, чтобы углы были прилежащими к *одной и той же* стороне. Здесь у нас сторона \(MA\) и углы \(\angle MAO\) и \(\angle AMO\). И сторона \(PC\) и углы \(\angle PCO\) и \(\angle OPC\). Это не совсем второй признак. Давайте переформулируем. Используем признак равенства треугольников по стороне и двум углам (сторона и два угла, один из которых прилежит к этой стороне, а другой противолежит). У нас есть: а) \(MA = PC\) (сторона). б) \(\angle MAO = \angle PCO\) (угол, прилежащий к стороне \(MA\) и \(PC\)). в) \(\angle AMO = \angle OPC\) (угол, противолежащий стороне \(AO\) и \(OC\), но это не совсем корректно для данного признака). Давайте используем сумму углов треугольника. В \(\triangle AMO\): \(\angle AOM = 180^\circ - \angle MAO - \angle AMO\). В \(\triangle OPC\): \(\angle POC = 180^\circ - \angle PCO - \angle OPC\). Так как \(\angle MAO = \angle PCO\) и \(\angle AMO = \angle OPC\), то \(\angle AOM = \angle POC\). Теперь у нас есть: а) \(MA = PC\) (сторона). б) \(\angle MAO = \angle PCO\) (угол, прилежащий к стороне \(MA\) и \(PC\)). в) \(\angle AOM = \angle POC\) (угол, прилежащий к стороне \(AO\) и \(OC\)). Это первый признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если мы рассмотрим стороны \(AO\) и \(OC\), но мы не знаем, что они равны. Давайте вернемся к признаку по стороне и двум углам. У нас есть: а) \(MA = PC\) (сторона). б) \(\angle MAO = \angle PCO\) (угол). в) \(\angle AMO = \angle OPC\) (угол). Если два угла и сторона, лежащая против одного из них, одного треугольника соответственно равны двум углам и стороне, лежащей против соответствующего угла другого треугольника, то такие треугольники равны. Здесь сторона \(MA\) лежит против угла \(\angle AOM\). Сторона \(PC\) лежит против угла \(\angle POC\). Мы уже показали, что \(\angle AOM = \angle POC\). Значит, у нас есть: а) \(\angle MAO = \angle PCO\). б) \(\angle AMO = \angle OPC\). в) \(MA = PC\). По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (если мы рассматриваем углы \(\angle MAO\) и \(\angle AMO\) как прилежащие к стороне \(AO\), что неверно), или по признаку равенства треугольников по стороне и двум углам (если сторона лежит между этими углами, что неверно), или по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них. Давайте еще раз внимательно. У нас есть: 1. \(\angle MAO = \angle PCO\) (доказано). 2. \(\angle AMO = \angle OPC\) (дано). 3. \(MA = PC\) (дано). Это соответствует признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них. В \(\triangle AMO\): углы \(\angle MAO\) и \(\angle AMO\). Сторона \(MA\) лежит против угла \(\angle AOM\). В \(\triangle OPC\): углы \(\angle PCO\) и \(\angle OPC\). Сторона \(PC\) лежит против угла \(\angle POC\). Мы уже показали, что \(\angle AOM = \angle POC\). Значит, у нас есть: а) \(\angle MAO = \angle PCO\). б) \(\angle AMO = \angle OPC\). в) Сторона \(MA\) равна стороне \(PC\). По признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них (в данном случае, сторона \(MA\) лежит против угла \(\angle AOM\), а сторона \(PC\) лежит против угла \(\angle POC\), и мы знаем, что \(\angle AOM = \angle POC\)), треугольники равны. Более простой способ: У нас есть: а) \(\angle MAO = \angle PCO\) (угол). б) \(\angle AMO = \angle OPC\) (угол). в) \(MA = PC\) (сторона). Это второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам. Но здесь углы не прилежат к стороне \(MA\) и \(PC\). Это признак равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них. У нас есть два угла \(\angle MAO\) и \(\angle AMO\), и сторона \(MA\). У нас есть два угла \(\angle PCO\) и \(\angle OPC\), и сторона \(PC\). Сторона \(MA\) лежит против угла \(\angle AOM\). Сторона \(PC\) лежит против угла \(\angle POC\). Мы знаем, что \(\angle AOM = 180^\circ - \angle MAO - \angle AMO\). Мы знаем, что \(\angle POC = 180^\circ - \angle PCO - \angle OPC\). Так как \(\angle MAO = \angle PCO\) и \(\angle AMO = \angle OPC\), то \(\angle AOM = \angle POC\). Теперь у нас есть: а) \(\angle MAO = \angle PCO\). б) \(\angle AOM = \angle POC\). в) Сторона \(MA\) равна стороне \(PC\). По признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей между ними (это не так), или по двум углам и стороне, лежащей против одного из них. Давайте возьмем углы \(\angle MAO\) и \(\angle AOM\), и сторону \(MA\). И углы \(\angle PCO\) и \(\angle POC\), и сторону \(PC\). Сторона \(MA\) лежит против угла \(\angle AOM\). Сторона \(PC\) лежит против угла \(\angle POC\). Так как \(\angle MAO = \angle PCO\), \(\angle AOM = \angle POC\) и \(MA = PC\), то \(\triangle AMO = \triangle OPC\) по признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них. Окончательное доказательство: 1. Рассмотрим \(\triangle ABC\). Так как \(AB = BC\), то \(\triangle ABC\) – равнобедренный. 2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle BAC = \angle BCA\). 3. Угол \(\angle BAC\) является углом \(\angle MAO\) в \(\triangle AMO\). Угол \(\angle BCA\) является углом \(\angle PCO\) в \(\triangle OPC\). 4. Значит, \(\angle MAO = \angle PCO\). 5. Рассмотрим \(\triangle AMO\) и \(\triangle OPC\). У них: а) \(MA = PC\) (по условию). б) \(\angle AMO = \angle OPC\) (по условию). в) \(\angle MAO = \angle PCO\) (доказано выше). 6. Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). В \(\triangle AMO\): \(\angle AOM = 180^\circ - \angle MAO - \angle AMO\). В \(\triangle OPC\): \(\angle POC = 180^\circ - \angle PCO - \angle OPC\). Так как \(\angle MAO = \angle PCO\) и \(\angle AMO = \angle OPC\), то \(\angle AOM = \angle POC\). 7. Теперь у нас есть: а) \(\angle MAO = \angle PCO\) (угол). б) \(\angle AOM = \angle POC\) (угол). в) \(MA = PC\) (сторона, лежащая против угла \(\angle AOM\) в \(\triangle AMO\) и против угла \(\angle POC\) в \(\triangle OPC\)). 8. По признаку равенства треугольников по двум углам и стороне, лежащей против одного из них, \(\triangle AMO = \triangle OPC\). Что и требовалось доказать. *** 2. На рисунке 35 \(AB = CD\), \(BC = AD\). Докажите, что \(\angle 1 = \angle 2\). Чертёж: (Нарисуйте четырёхугольник ABCD. Проведите диагональ AC. Отметьте равные стороны AB=CD и BC=AD. Отметьте углы \(\angle 1\) (угол BAC) и \(\angle 2\) (угол DCA).) Дано: Четырёхугольник \(ABCD\). \(AB = CD\). \(BC = AD\). Доказать: \(\angle 1 = \angle 2\). (То есть \(\angle BAC = \angle DCA\)). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle CDA\). 2. У них: а) \(AB = CD\) (по условию). б) \(BC = AD\) (по условию). в) Сторона \(AC\) – общая для обоих треугольников. 3. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 4. Следовательно, \(\triangle ABC = \triangle CDA\). 5. В равных треугольниках соответствующие углы равны. 6. Угол \(\angle BAC\) в \(\triangle ABC\) соответствует углу \(\angle DCA\) в \(\triangle CDA\). 7. Таким образом, \(\angle BAC = \angle DCA\). 8. По условию, \(\angle 1 = \angle BAC\) и \(\angle 2 = \angle DCA\). 9. Значит, \(\angle 1 = \angle 2\). Что и требовалось доказать. *** 3. Известно, что \(AB = AD\) и \(BC = DC\) (рис. 45). Докажите, что \(BO = DO\). Чертёж: (Нарисуйте четырёхугольник ABCD. Проведите диагонали AC и BD. Точка пересечения диагоналей – O. Отметьте равные стороны AB=AD и BC=DC.) Дано: Четырёхугольник \(ABCD\). \(AB = AD\). \(BC = DC\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Доказать: \(BO = DO\). Доказательство: 1. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ADC\). 2. У них: а) \(AB = AD\) (по условию). б) \(BC = DC\) (по условию). в) Сторона \(AC\) – общая для обоих треугольников. 3. По третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), \(\triangle ABC = \triangle ADC\). 4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Следовательно, \(\angle BAC = \angle DAC\). 5. Теперь рассмотрим треугольники \(\triangle ABO\) и \(\triangle ADO\). 6. У них: а) \(AB = AD\) (по условию). б) \(\angle BAO = \angle DAO\) (так как \(\angle BAC = \angle DAC\), а точки \(O\) лежат на \(AC\)). в) Сторона \(AO\) – общая для обоих треугольников. 7. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. 8. Следовательно, \(\triangle ABO = \triangle ADO\). 9. В равных треугольниках соответствующие стороны равны. 10. Сторона \(BO\) в \(\triangle ABO\) соответствует стороне \(DO\) в \(\triangle ADO\). 11. Таким образом, \(BO = DO\). Что и требовалось доказать.