Решение задачи по геометрии (Вариант 3)

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Домашнее задание по геометрии Вариант 3 1. В прямоугольнике диагональ равна 12 см, а угол между диагоналями равен 30°. Найдите площадь прямоугольника. Решение: Пусть дан прямоугольник \(ABCD\). Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Дано: \(AC = BD = 12\) см. Угол между диагоналями, например, \(\angle AOB = 30^\circ\). Площадь прямоугольника можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha\] где \(d_1\) и \(d_2\) – длины диагоналей, а \(\alpha\) – угол между ними. В прямоугольнике \(d_1 = d_2 = d\). Значит, \(S = \frac{1}{2} d^2 \sin \alpha\). Подставим известные значения: \[S = \frac{1}{2} \cdot (12 \text{ см})^2 \cdot \sin 30^\circ\] Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 144 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[S = \frac{1}{4} \cdot 144 \text{ см}^2\] \[S = 36 \text{ см}^2\] Ответ: Площадь прямоугольника равна 36 см\(^2\). 2. Дано: \(ABCD\) – ромб. \(AC = 20\), \(BD = 8\). Составьте уравнение прямых, содержащих стороны ромба. Решение: Для составления уравнений прямых, содержащих стороны ромба, нам нужны координаты вершин ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей – начало координат \((0,0)\). Тогда вершины ромба будут лежать на осях координат. Длина диагонали \(AC = 20\), значит, \(AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{20}{2} = 10\). Длина диагонали \(BD = 8\), значит, \(BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Пусть диагональ \(AC\) лежит на оси \(Ox\), а диагональ \(BD\) – на оси \(Oy\). Тогда координаты вершин: \(A = (-10, 0)\) \(C = (10, 0)\) \(B = (0, 4)\) \(D = (0, -4)\) Теперь найдем уравнения прямых, проходящих через эти точки. Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), имеет вид: \[\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\] 1) Прямая \(AB\), проходящая через \(A(-10, 0)\) и \(B(0, 4)\): \[\frac{y - 0}{4 - 0} = \frac{x - (-10)}{0 - (-10)}\] \[\frac{y}{4} = \frac{x + 10}{10}\] Умножим обе части на 20 (наименьшее общее кратное 4 и 10): \[5y = 2(x + 10)\] \[5y = 2x + 20\] \[2x - 5y + 20 = 0\] 2) Прямая \(BC\), проходящая через \(B(0, 4)\) и \(C(10, 0)\): \[\frac{y - 4}{0 - 4} = \frac{x - 0}{10 - 0}\] \[\frac{y - 4}{-4} = \frac{x}{10}\] Умножим обе части на 20: \[5(y - 4) = -2x\] \[5y - 20 = -2x\] \[2x + 5y - 20 = 0\] 3) Прямая \(CD\), проходящая через \(C(10, 0)\) и \(D(0, -4)\): \[\frac{y - 0}{-4 - 0} = \frac{x - 10}{0 - 10}\] \[\frac{y}{-4} = \frac{x - 10}{-10}\] Умножим обе части на 20: \[-5y = -2(x - 10)\] \[-5y = -2x + 20\] \[2x - 5y - 20 = 0\] 4) Прямая \(DA\), проходящая через \(D(0, -4)\) и \(A(-10, 0)\): \[\frac{y - (-4)}{0 - (-4)} = \frac{x - 0}{-10 - 0}\] \[\frac{y + 4}{4} = \frac{x}{-10}\] Умножим обе части на 20: \[5(y + 4) = -2x\] \[5y + 20 = -2x\] \[2x + 5y + 20 = 0\] Ответ: Уравнения прямых, содержащих стороны ромба: \(AB: 2x - 5y + 20 = 0\) \(BC: 2x + 5y - 20 = 0\) \(CD: 2x - 5y - 20 = 0\) \(DA: 2x + 5y + 20 = 0\) 3. Найти \(x\) и \(y\). (По рисунку) Решение: Рассмотрим треугольник \(RMS\). В нем проведена высота \(MT\) к стороне \(RS\). В треугольнике \(RMT\): \(\angle R = 45^\circ\), \(\angle MTR = 90^\circ\). Значит, \(\angle RMT = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ\). Треугольник \(RMT\) – равнобедренный прямоугольный треугольник, поэтому \(RT = MT\). Дано \(RM = 6\). По теореме Пифагора в \(\triangle RMT\): \(RM^2 = RT^2 + MT^2\) \(6^2 = RT^2 + RT^2\) \(36 = 2RT^2\) \(RT^2 = 18\) \(RT = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) Значит, \(MT = 3\sqrt{2}\). Теперь рассмотрим треугольник \(MTS\): \(\angle MTS = 90^\circ\). \(\angle S = 30^\circ\). Мы знаем \(MT = 3\sqrt{2}\). В прямоугольном треугольнике \(MTS\): \(\sin S = \frac{MT}{MS}\) \(\sin 30^\circ = \frac{3\sqrt{2}}{x}\) \(\frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{x}\) \(x = 2 \cdot 3\sqrt{2}\) \(x = 6\sqrt{2}\) Теперь найдем \(TS\). \(\cos S = \frac{TS}{MS}\) \(\cos 30^\circ = \frac{TS}{x}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{TS}{6\sqrt{2}}\) \(TS = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\) \(TS = 3\sqrt{6}\) Теперь найдем \(y\), который является длиной стороны \(RS\). \(y = RS = RT + TS\) \(y = 3\sqrt{2} + 3\sqrt{6}\) \(y = 3(\sqrt{2} + \sqrt{6})\) Ответ: \(x = 6\sqrt{2}\), \(y = 3(\sqrt{2} + \sqrt{6})\). 4. Медианы \(\triangle MNP\) пересекаются в точке \(O\), \(\angle MNP = 30^\circ\), \(MN = 4\) см, \(NP = 6\) см. Найдите произведение площадей треугольников \(MOP, NOP, NOM\). Решение: Медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников. Пусть \(S\) – площадь треугольника \(\triangle MNP\). Тогда площади треугольников \(MOP, NOP, NOM\) равны \(\frac{1}{3}S\). Площадь треугольника \(MNP\) можно найти по формуле: \[S = \frac{1}{2} MN \cdot NP \cdot \sin(\angle MNP)\] Дано: \(MN = 4\) см, \(NP = 6\) см, \(\angle MNP = 30^\circ\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot \sin 30^\circ\] Мы знаем, что \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). \[S = \frac{1}{2} \cdot 24 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[S = 12 \text{ см}^2 \cdot \frac{1}{2}\] \[S = 6 \text{ см}^2\] Площади треугольников \(MOP, NOP, NOM\) равны: \(S_{MOP} = \frac{1}{3} S = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^2 = 2 \text{ см}^2\) \(S_{NOP} = \frac{1}{3} S = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^2 = 2 \text{ см}^2\) \(S_{NOM} = \frac{1}{3} S = \frac{1}{3} \cdot 6 \text{ см}^2 = 2 \text{ см}^2\) Найдем произведение этих площадей: Произведение \(= S_{MOP} \cdot S_{NOP} \cdot S_{NOM}\) Произведение \(= 2 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см}^2 \cdot 2 \text{ см}^2\) Произведение \(= 8 \text{ см}^6\) Ответ: Произведение площадей треугольников \(MOP, NOP, NOM\) равно 8 см\(^6\).