Задача 2. Приведите подобные члены многочлена и найдите его значение:
1) \(2x^4 - x^4 + 7x^2 + x - 4x^2 - 5x\), если \(x = 2\);
Решение:
Сначала приведем подобные члены. Подобные члены - это члены, у которых одинаковая буквенная часть (переменные в одинаковых степенях).
Группируем члены с одинаковыми степенями \(x\):
\((2x^4 - x^4) + (7x^2 - 4x^2) + (x - 5x)\)
Выполняем вычитание и сложение коэффициентов:
\((2 - 1)x^4 + (7 - 4)x^2 + (1 - 5)x\)
\(1x^4 + 3x^2 - 4x\)
Или просто:
\(x^4 + 3x^2 - 4x\)
Теперь найдем значение этого многочлена, подставив \(x = 2\):
\(2^4 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2\)
Вычисляем степени:
\(16 + 3 \cdot 4 - 8\)
Выполняем умножение:
\(16 + 12 - 8\)
Выполняем сложение и вычитание:
\(28 - 8 = 20\)
Ответ: \(x^4 + 3x^2 - 4x\); значение многочлена равно \(20\).
2) \(0,4b^3 - 0,2b^2 + 0,5b - 0,3b^3 - 0,5b + 7\), если \(b = -2\);
Решение:
Приведем подобные члены:
\((0,4b^3 - 0,3b^3) - 0,2b^2 + (0,5b - 0,5b) + 7\)
Выполняем вычитание и сложение коэффициентов:
\((0,4 - 0,3)b^3 - 0,2b^2 + (0,5 - 0,5)b + 7\)
\(0,1b^3 - 0,2b^2 + 0b + 7\)
Или просто:
\(0,1b^3 - 0,2b^2 + 7\)
Теперь найдем значение этого многочлена, подставив \(b = -2\):
\(0,1 \cdot (-2)^3 - 0,2 \cdot (-2)^2 + 7\)
Вычисляем степени:
\(0,1 \cdot (-8) - 0,2 \cdot 4 + 7\)
Выполняем умножение:
\(-0,8 - 0,8 + 7\)
Выполняем сложение и вычитание:
\(-1,6 + 7 = 5,4\)
Ответ: \(0,1b^3 - 0,2b^2 + 7\); значение многочлена равно \(5,4\).
3) \(-4a^2b + 3ab^2 + 3a^2b - 5ab^2 + 5a^2b\), если \(a = 5, b = -0,4\);
Решение:
Приведем подобные члены. Здесь у нас есть члены с \(a^2b\) и \(ab^2\).
Группируем члены с \(a^2b\):
\((-4a^2b + 3a^2b + 5a^2b)\)
Группируем члены с \(ab^2\):
\((3ab^2 - 5ab^2)\)
Складываем коэффициенты для каждой группы:
\((-4 + 3 + 5)a^2b + (3 - 5)ab^2\)
\(4a^2b - 2ab^2\)
Теперь найдем значение этого многочлена, подставив \(a = 5\) и \(b = -0,4\):
\(4 \cdot (5)^2 \cdot (-0,4) - 2 \cdot 5 \cdot (-0,4)^2\)
Вычисляем степени:
\(4 \cdot 25 \cdot (-0,4) - 2 \cdot 5 \cdot (0,16)\)
Выполняем умножение:
\(100 \cdot (-0,4) - 10 \cdot 0,16\)
\(-40 - 1,6\)
Выполняем вычитание:
\(-41,6\)
Ответ: \(4a^2b - 2ab^2\); значение многочлена равно \(-41,6\).
4) \(-0,3x - 13xy^2 - 37xy^2\), если \(x = 4, y = -0,2\).
Решение:
Приведем подобные члены. Здесь у нас есть члены с \(x\) и \(xy^2\).
Группируем члены с \(xy^2\):
\(-0,3x + (-13xy^2 - 37xy^2)\)
Складываем коэффициенты для группы \(xy^2\):
\(-0,3x + (-13 - 37)xy^2\)
\(-0,3x - 50xy^2\)
Теперь найдем значение этого многочлена, подставив \(x = 4\) и \(y = -0,2\):
\(-0,3 \cdot 4 - 50 \cdot 4 \cdot (-0,2)^2\)
Вычисляем степень:
\(-0,3 \cdot 4 - 50 \cdot 4 \cdot (0,04)\)
Выполняем умножение:
\(-1,2 - 200 \cdot 0,04\)
\(-1,2 - 8\)
Выполняем вычитание:
\(-9,2\)
Ответ: \(-0,3x - 50xy^2\); значение многочлена равно \(-9,2\).