2. В книге рекордов Гиннеса написано, что наибольшее известное простое число равно \((23021^{337} - 1)\). Как Вы думаете: соответствует истине данное утверждение или это опечатка?
Решение:
Давайте разберемся, что такое простое число. Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Например, 2, 3, 5, 7, 11 — это простые числа.
В задаче указано число в виде \((23021^{337} - 1)\). Это число имеет вид \(a^n - 1\). Известно, что если \(n\) является составным числом, то \(a^n - 1\) всегда можно разложить на множители, а значит, оно не будет простым числом.
В нашем случае, показатель степени \(337\) является простым числом. Однако, основание степени \(23021\) не является простым числом. Давайте проверим это:
Число \(23021\) оканчивается на 1. Сумма цифр \(2+3+0+2+1 = 8\), что не делится на 3. Число не оканчивается на 0 или 5, значит, не делится на 5. Попробуем разделить на другие простые числа.
Заметим, что \(23021\) делится на 11:
\(23021 \div 11 = 2092.81...\) - нет, не делится на 11.
Давайте попробуем разделить на 23:
\(23021 \div 23 = 1000.91...\) - нет, не делится на 23.
На самом деле, \(23021\) является составным числом. Оно делится на 13:
\(23021 = 13 \times 1771\)
Так как \(23021\) является составным числом, то число \((23021^{337} - 1)\) также является составным числом. Это следует из следующего свойства: если \(a\) является составным числом, то \(a^n - 1\) также является составным числом (за исключением тривиальных случаев, когда \(a=1\) или \(n=0\)).
Более того, если \(a\) является составным числом, то \(a^n - 1\) можно разложить на множители. Например, если \(a = b \times c\), то \(a^n - 1 = (b \times c)^n - 1\). Это не всегда напрямую показывает, что число составное, но в данном случае, если \(a\) составное, то \(a-1\) является делителем \(a^n-1\).
Поскольку \(23021\) является составным числом, то \((23021 - 1) = 23020\) является делителем \((23021^{337} - 1)\). А раз у числа есть делитель, отличный от 1 и самого себя, то оно не является простым.
Наибольшие известные простые числа обычно являются числами Мерсенна, которые имеют вид \(2^p - 1\), где \(p\) — простое число. В этом случае основание степени равно 2.
Например, на момент написания этого ответа, наибольшее известное простое число — это \(2^{82589933} - 1\). Это число было найдено в 2018 году.
Вывод:
Утверждение в книге рекордов Гиннеса о том, что наибольшее известное простое число равно \((23021^{337} - 1)\), является опечаткой. Число \((23021^{337} - 1)\) не может быть простым, потому что его основание \(23021\) является составным числом (\(23021 = 13 \times 1771\)).