Задание по геометрии на 12 декабря
Длина образующей цилиндра в 7 раз меньше радиуса основания. Найди отношение площади основания цилиндра к площади осевого сечения.
Выбери верный вариант: \( \frac{1}{7\pi} \), \( \frac{2}{7\pi} \), \( 2\pi \), \( \frac{7}{\pi} \), \( \frac{\pi}{7} \), \( \frac{2\pi}{7} \), \( \frac{7\pi}{2} \), \( 7\pi \)
---
Решение:
1. Обозначим параметры цилиндра. Пусть радиус основания цилиндра равен \(r\). Длина образующей цилиндра (которая равна его высоте) обозначим как \(h\).
2. Запишем условие задачи. Длина образующей в 7 раз меньше радиуса основания: \[h = \frac{r}{7}\]
3. Найдем площадь основания цилиндра. Основание цилиндра — это круг. Площадь круга \(S_{осн}\) вычисляется по формуле: \[S_{осн} = \pi r^2\]
4. Найдем площадь осевого сечения цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и высоте цилиндра. Диаметр основания \(d = 2r\). Высота цилиндра \(h\). Площадь осевого сечения \(S_{ос.сеч}\) вычисляется по формуле: \[S_{ос.сеч} = d \cdot h = 2r \cdot h\]
5. Подставим выражение для \(h\) в формулу площади осевого сечения. Мы знаем, что \(h = \frac{r}{7}\). \[S_{ос.сеч} = 2r \cdot \frac{r}{7} = \frac{2r^2}{7}\]
6. Найдем отношение площади основания к площади осевого сечения. \[\frac{S_{осн}}{S_{ос.сеч}} = \frac{\pi r^2}{\frac{2r^2}{7}}\]
7. Упростим выражение. \[\frac{S_{осн}}{S_{ос.сеч}} = \pi r^2 \cdot \frac{7}{2r^2}\] Сократим \(r^2\) (поскольку \(r \neq 0\)): \[\frac{S_{осн}}{S_{ос.сеч}} = \frac{7\pi}{2}\]
Ответ:
Отношение площади основания цилиндра к площади осевого сечения равно \( \frac{7\pi}{2} \).
Среди предложенных вариантов ответов: \( \frac{1}{7\pi} \), \( \frac{2}{7\pi} \), \( 2\pi \), \( \frac{7}{\pi} \), \( \frac{\pi}{7} \), \( \frac{2\pi}{7} \), \( \frac{7\pi}{2} \), \( 7\pi \), правильный вариант — \( \frac{7\pi}{2} \).