Задание по геометрии на 12 декабря
Найди угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра, если образующая цилиндра в 2 раза больше диаметра основания.
Выбери верный вариант: \( \text{arcctg } \frac{1}{4} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{4} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \)
---
Решение:
1. Представим осевое сечение цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — это диаметр основания цилиндра (\(d\)). Другая сторона этого прямоугольника — это образующая (высота) цилиндра (\(h\)).
2. Обозначим угол. Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра — это угол между диагональю прямоугольника и его стороной, лежащей на основании. Обозначим этот угол как \(\alpha\).
3. Запишем условие задачи. Образующая цилиндра (высота \(h\)) в 2 раза больше диаметра основания (\(d\)): \[h = 2d\]
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю осевого сечения. В этом прямоугольном треугольнике: Катет, прилежащий к углу \(\alpha\), равен диаметру основания \(d\). Катет, противолежащий углу \(\alpha\), равен высоте цилиндра \(h\).
5. Используем тригонометрическую функцию тангенс. Тангенс угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \[\text{tg } \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{d}\]
6. Подставим известное соотношение \(h = 2d\). \[\text{tg } \alpha = \frac{2d}{d}\] \[\text{tg } \alpha = 2\]
7. Найдем угол \(\alpha\). Чтобы найти угол \(\alpha\), нужно взять арктангенс от 2: \[\alpha = \text{arctg } 2\]
8. Проверим варианты ответов. В предложенных вариантах используются арккотангенсы. Вспомним, что \(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{\text{tg } \alpha}\). Если \(\text{tg } \alpha = 2\), то \(\text{ctg } \alpha = \frac{1}{2}\). Следовательно, \(\alpha = \text{arcctg } \frac{1}{2}\).
Ответ:
Угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания цилиндра равен \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \).
Среди предложенных вариантов ответов: \( \text{arcctg } \frac{1}{4} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{4} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \), \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \), правильный вариант — \( \text{arcctg } \frac{1}{2} \).