Задание по геометрии на 12 декабря
Плоскость \((ABB_1)\) параллельна оси цилиндра, изображённого на рисунке. Найди площадь сечения \(AA_1B_1B\), если радиус основания равен \(22\sqrt{3}\) и \( \frac{AA_1}{AB} = \frac{5}{6} \).
---
Решение:
1. Определим форму сечения. Поскольку плоскость \((ABB_1)\) параллельна оси цилиндра, сечение \(AA_1B_1B\) является прямоугольником. Стороны этого прямоугольника: \(AA_1\) (высота цилиндра) и \(AB\) (хорда основания). Площадь сечения \(S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot AB\).
2. Запишем данные из условия задачи. Радиус основания цилиндра \(R = 22\sqrt{3}\). Отношение высоты к хорде: \( \frac{AA_1}{AB} = \frac{5}{6} \). Из этого отношения выразим \(AA_1\): \(AA_1 = \frac{5}{6} AB\).
3. Рассмотрим основание цилиндра. В основании лежит круг с центром \(O\) и радиусом \(R\). Хорда \(AB\) стягивает дугу, центральный угол которой \(\angle AOB = 120^\circ\). Треугольник \(AOB\) равнобедренный, так как \(OA = OB = R\).
4. Найдем длину хорды \(AB\). Для нахождения длины хорды \(AB\) в равнобедренном треугольнике \(AOB\) можно использовать теорему косинусов или опустить высоту из \(O\) на \(AB\). Используем теорему косинусов: \[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)\] \[AB^2 = R^2 + R^2 - 2 \cdot R \cdot R \cdot \cos(120^\circ)\] \[AB^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot (-\frac{1}{2})\] \[AB^2 = 2R^2 + R^2\] \[AB^2 = 3R^2\] \[AB = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}\]
5. Подставим значение радиуса \(R\). \[AB = (22\sqrt{3})\sqrt{3} = 22 \cdot 3 = 66\] Итак, длина хорды \(AB = 66\).
6. Найдем высоту цилиндра \(AA_1\). Используем отношение \(AA_1 = \frac{5}{6} AB\): \[AA_1 = \frac{5}{6} \cdot 66\] \[AA_1 = 5 \cdot 11 = 55\] Итак, высота цилиндра \(AA_1 = 55\).
7. Вычислим площадь сечения \(AA_1B_1B\). \[S_{AA_1B_1B} = AA_1 \cdot AB\] \[S_{AA_1B_1B} = 55 \cdot 66\] Выполним умножение: \(55 \cdot 66 = 55 \cdot (60 + 6) = 55 \cdot 60 + 55 \cdot 6 = 3300 + 330 = 3630\)
Ответ:
Площадь сечения \(AA_1B_1B\) равна 3630.