Задание по геометрии на 12 декабря
Найди площадь полной поверхности цилиндра, радиус основания которого равен \( \frac{3}{\sqrt{\pi}} \), а длина образующей — \( \frac{2}{5\sqrt{\pi}} \).
Запиши в поле ответа верное число.
---
Решение:
1. Вспомним формулу площади полной поверхности цилиндра. Площадь полной поверхности цилиндра \(S_{полн}\) состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности: \[S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}\]
2. Запишем формулы для площади основания и боковой поверхности. Площадь основания \(S_{осн}\) (круг) вычисляется по формуле: \[S_{осн} = \pi r^2\] Площадь боковой поверхности \(S_{бок}\) вычисляется по формуле: \[S_{бок} = 2\pi r h\] где \(r\) — радиус основания, \(h\) — длина образующей (высота цилиндра).
3. Запишем общую формулу для площади полной поверхности. \[S_{полн} = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r (r + h)\]
4. Запишем данные из условия задачи. Радиус основания \(r = \frac{3}{\sqrt{\pi}}\). Длина образующей \(h = \frac{2}{5\sqrt{\pi}}\).
5. Подставим значения \(r\) и \(h\) в формулу для \(S_{полн}\). \[S_{полн} = 2\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right) \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}} + \frac{2}{5\sqrt{\pi}}\right)\]
6. Выполним вычисления. Сначала упростим выражение \(2\pi \left(\frac{3}{\sqrt{\pi}}\right)\): \[2\pi \frac{3}{\sqrt{\pi}} = 6 \frac{\pi}{\sqrt{\pi}} = 6\sqrt{\pi}\] Теперь упростим выражение в скобках: \[\frac{3}{\sqrt{\pi}} + \frac{2}{5\sqrt{\pi}} = \frac{3 \cdot 5}{5\sqrt{\pi}} + \frac{2}{5\sqrt{\pi}} = \frac{15}{5\sqrt{\pi}} + \frac{2}{5\sqrt{\pi}} = \frac{15 + 2}{5\sqrt{\pi}} = \frac{17}{5\sqrt{\pi}}\] Теперь перемножим полученные выражения: \[S_{полн} = 6\sqrt{\pi} \cdot \frac{17}{5\sqrt{\pi}}\] Сократим \(\sqrt{\pi}\): \[S_{полн} = \frac{6 \cdot 17}{5}\] \[S_{полн} = \frac{102}{5}\] Переведем дробь в десятичную: \[S_{полн} = 20.4\]
Ответ:
Площадь полной поверхности цилиндра равна 20.4.
В поле ответа нужно записать число 20.4.