Решение:

Хорошо, давайте решим задачи по геометрии. Контрольная работа по геометрии №2 "Признаки равенства треугольников" Вариант 2 1) Две прямые пересекаются в точке K. На одной прямой взяты точки M и C, а на другой — точки P и E так, что KM = KC и KP = KE. Докажите, что углы E и P равны. Решение: Дано: Прямые MC и PE пересекаются в точке K. KM = KC KP = KE Доказать: \(\angle E = \angle P\) Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle MKP\) и \(\triangle CKE\). 1. \(KM = KC\) (по условию). 2. \(KP = KE\) (по условию). 3. \(\angle MKP = \angle CKE\) как вертикальные углы. По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \(\triangle MKP = \triangle CKE\). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов. Следовательно, \(\angle P = \angle E\). Что и требовалось доказать. 2) В треугольнике ABC проведена высота BK, которая является медианой. Найти сторону AB и угол C, если угол A=60, BC=12. Решение: Дано: \(\triangle ABC\) BK — высота, то есть \(BK \perp AC\), значит \(\angle BKA = \angle BKC = 90^\circ\). BK — медиана, то есть делит сторону AC пополам, значит \(AK = KC\). \(\angle A = 60^\circ\) \(BC = 12\) Найти: AB \(\angle C\) Поскольку высота BK является также медианой, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, \(\angle A = \angle C\). Так как \(\angle A = 60^\circ\), то \(\angle C = 60^\circ\). Сумма углов в треугольнике равна \(180^\circ\). \(\angle B = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\). Так как все углы треугольника ABC равны \(60^\circ\), то \(\triangle ABC\) является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны. Значит, \(AB = BC = AC\). Поскольку \(BC = 12\), то \(AB = 12\). Ответ: \(AB = 12\), \(\angle C = 60^\circ\). 3) По готовому чертежу докажите равенство треугольников. Решение: (Предполагается, что на чертеже изображены два треугольника, например, \(\triangle ABE\) и \(\triangle CDE\), и даны некоторые равенства сторон или углов. Пожалуйста, предоставьте описание чертежа или сам чертеж, чтобы я мог дать точное доказательство. Если чертеж такой, как на изображении, то это, вероятно, \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\), или \(\triangle ABE\) и \(\triangle CBE\), или \(\triangle ADE\) и \(\triangle CDE\). Давайте предположим, что нужно доказать равенство \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\), исходя из того, что точка E лежит на BD, и D - вершина, а A, B, C - другие вершины.) Если чертеж такой, как на изображении, и нужно доказать равенство \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\), то: Дано: На чертеже видно, что \(AB = CB\) (обозначено одинаковыми штрихами). Также видно, что \(AD = CD\) (обозначено одинаковыми штрихами). Сторона BD — общая для обоих треугольников. Доказать: \(\triangle ABD = \triangle CBD\) Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ABD\) и \(\triangle CBD\). 1. \(AB = CB\) (по условию, обозначено на чертеже). 2. \(AD = CD\) (по условию, обозначено на чертеже). 3. \(BD\) — общая сторона. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), \(\triangle ABD = \triangle CBD\). Что и требовалось доказать. (Если нужно доказать равенство других треугольников на чертеже, например \(\triangle ABE\) и \(\triangle CBE\), то нужно дополнительно знать, что BE является медианой или биссектрисой, или что \(\angle AEB = \angle CEB\). Если E - точка пересечения, и \(AE = CE\), то можно доказать равенство \(\triangle ADE\) и \(\triangle CDE\) по двум сторонам и углу между ними, если \(\angle ADE = \angle CDE\), или по трем сторонам, если \(DE\) общая.) 4) В треугольнике ABC из прямого угла C проведена медиана CM. Сторона AB=13, AC=7. Найдите периметр треугольника ACM. Решение: Дано: \(\triangle ABC\) — прямоугольный, \(\angle C = 90^\circ\). CM — медиана, проведенная из вершины прямого угла C. \(AB = 13\) \(AC = 7\) Найти: Периметр \(\triangle ACM\) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Гипотенуза в \(\triangle ABC\) — это сторона AB. Значит, \(CM = \frac{1}{2} AB\). \(CM = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5\). Медиана CM делит гипотенузу AB на две равные части: \(AM = MB = \frac{1}{2} AB\). Значит, \(AM = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6.5\). Теперь у нас есть все стороны треугольника ACM: \(AC = 7\) (дано) \(AM = 6.5\) (найдено) \(CM = 6.5\) (найдено) Периметр треугольника ACM (\(P_{ACM}\)) равен сумме длин его сторон: \(P_{ACM} = AC + AM + CM\) \(P_{ACM} = 7 + 6.5 + 6.5\) \(P_{ACM} = 7 + 13\) \(P_{ACM} = 20\) Ответ: Периметр треугольника ACM равен 20.