Задача А9.
Даны два числовых множества А и В. Запишите с помощью числового промежутка и изобразите на числовой прямой множество \(C = A \cup B\), если:
а) \(A = [1; +\infty)\), \(B = (4; +\infty)\);
б) \(A = (-\infty; 2]\), \(B = (-2; 7]\).
Решение:
а) Даны множества \(A = [1; +\infty)\) и \(B = (4; +\infty)\).
Множество \(C = A \cup B\) — это объединение множеств А и В, то есть все числа, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Если число принадлежит \(A\), то оно больше или равно 1. Если число принадлежит \(B\), то оно строго больше 4.
Объединяя эти условия, мы получаем, что число должно быть больше или равно 1.
Значит, \(C = [1; +\infty)\).
Изобразим на числовой прямой:
На числовой прямой отметим точку 1 закрашенным кружком (так как 1 входит в множество) и проведем луч вправо до бесконечности.
б) Даны множества \(A = (-\infty; 2]\) и \(B = (-2; 7]\).
Множество \(C = A \cup B\) — это объединение множеств А и В.
Если число принадлежит \(A\), то оно меньше или равно 2. Если число принадлежит \(B\), то оно строго больше -2 и меньше или равно 7.
Объединяя эти условия, мы видим, что наименьшее значение, которое может принимать число, стремится к \(-\infty\), а наибольшее значение — 7 (так как 7 входит в множество В).
Значит, \(C = (-\infty; 7]\).
Изобразим на числовой прямой:
На числовой прямой отметим точку 7 закрашенным кружком (так как 7 входит в множество) и проведем луч влево до бесконечности.
Задача А10.
Даны два числовых множества А и В. Запишите с помощью числового промежутка и изобразите на числовой прямой множество \(C = A \cap B\), если:
а) \(A = [-1; 6)\), \(B = (-1; 6)\);
б) \(A = (-\infty; 3]\), \(B = (-3; 2)\).
Решение:
а) Даны множества \(A = [-1; 6)\) и \(B = (-1; 6)\).
Множество \(C = A \cap B\) — это пересечение множеств А и В, то есть все числа, которые принадлежат обоим множествам одновременно.
Для \(A\): \(-1 \le x < 6\).
Для \(B\): \(-1 < x < 6\).
Чтобы число принадлежало обоим множествам, оно должно удовлетворять обоим условиям. Наименьшее значение, которое может принимать \(x\), должно быть строго больше -1 (так как в множестве В -1 не включается). Наибольшее значение, которое может принимать \(x\), должно быть строго меньше 6 (так как в обоих множествах 6 не включается).
Значит, \(C = (-1; 6)\).
Изобразим на числовой прямой:
На числовой прямой отметим точки -1 и 6 незакрашенными кружками (так как они не входят в множество) и заштрихуем интервал между ними.
б) Даны множества \(A = (-\infty; 3]\) и \(B = (-3; 2)\).
Множество \(C = A \cap B\) — это пересечение множеств А и В.
Для \(A\): \(x \le 3\).
Для \(B\): \(-3 < x < 2\).
Чтобы число принадлежало обоим множествам, оно должно быть строго больше -3 (из множества В) и строго меньше 2 (из множества В, так как 2 меньше или равно 3, что удовлетворяет условию для А).
Значит, \(C = (-3; 2)\).
Изобразим на числовой прямой:
На числовой прямой отметим точку -3 незакрашенным кружком и точку 2 незакрашенным кружком (так как они не входят в множество) и заштрихуем интервал между ними.
Задача А11.
Семиклассники решали две задачи. Введём обозначения: множество А «те, кто решил первую задачу», множество В «те, кто решил вторую задачу», множество С «те, кто решил хотя бы одну задачу», множество D «те, кто решил обе задачи». Во всех трёх множествах разное количество элементов.
а) В каком из множеств наибольшее количество элементов?
б) В каком из множеств наименьшее количество элементов?
Решение:
Обозначим количество элементов в множестве А как \(|A|\), в множестве В как \(|B|\).
Множество А — те, кто решил первую задачу.
Множество В — те, кто решил вторую задачу.
Множество С — те, кто решил хотя бы одну задачу. Это означает, что они решили первую, или вторую, или обе. В терминах теории множеств это \(C = A \cup B\).
Множество D — те, кто решил обе задачи. Это означает, что они решили и первую, и вторую. В терминах теории множеств это \(D = A \cap B\).
Мы знаем, что \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|\).
То есть, \(|C| = |A| + |B| - |D|\).
Из этого равенства видно, что \(|C|\) будет больше, чем \(|A|\) и \(|B|\) по отдельности, если есть ученики, которые решили только одну задачу. Если бы все, кто решил первую, решили и вторую, то \(|A| \le |B|\) и \(|C| = |B|\). Но в задаче сказано, что количество элементов в трёх множествах разное, что подразумевает наличие учеников, решивших только одну задачу.
Также мы знаем, что \(D = A \cap B\) является подмножеством как А, так и В. То есть, \(|D| \le |A|\) и \(|D| \le |B|\).
И \(A\) и \(B\) являются подмножествами \(C = A \cup B\). То есть, \(|A| \le |C|\) и \(|B| \le |C|\).
Таким образом, мы имеем следующую цепочку неравенств для количества элементов:
\(|D| \le |A|\)
\(|D| \le |B|\)
\(|A| \le |C|\)
\(|B| \le |C|\)
Из этого следует, что \(|D|\) всегда будет наименьшим или равным любому другому множеству, а \(|C|\) всегда будет наибольшим или равным любому другому множеству.
Поскольку в условии сказано, что во всех трёх множествах (А, В, С, D) разное количество элементов, то неравенства становятся строгими:
\(|D| < |A|\)
\(|D| < |B|\)
\(|A| < |C|\)
\(|B| < |C|\)
И, следовательно, \(|D|\) будет наименьшим, а \(|C|\) будет наибольшим.
а) В каком из множеств наибольшее количество элементов?
Наибольшее количество элементов в множестве С («те, кто решил хотя бы одну задачу»).
б) В каком из множеств наименьшее количество элементов?
Наименьшее количество элементов в множестве D («те, кто решил обе задачи»).