Задачи на Теорему Пифагора
Задача 1. Петя хочет установить телевизионную антенну на крыше своего дома. Для этого ему нужно поставить лестницу к стене дома. Расстояние от основания лестницы до стены дома составляет 6 метров, а высота стены - 8 метров. Какой длины должна быть лестница?
Решение:
Представим ситуацию в виде прямоугольного треугольника. Стена дома и земля образуют прямой угол. Лестница является гипотенузой этого треугольника, а расстояние от основания лестницы до стены и высота стены являются катетами.
Обозначим:
- Расстояние от основания лестницы до стены (первый катет) — \(a = 6\) м.
- Высота стены (второй катет) — \(b = 8\) м.
- Длина лестницы (гипотенуза) — \(c\).
По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[6^2 + 8^2 = c^2\] \[36 + 64 = c^2\] \[100 = c^2\]Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень из 100:
\[c = \sqrt{100}\] \[c = 10\]Таким образом, длина лестницы должна быть 10 метров.
Ответ: 10 метров.
Задача 2. На школьном дворе нужно проложить дорожку по диагонали прямоугольной площадки. Длина площадки 15 метров, а ширина 12 метров. Какой длины будет дорожка?
Решение:
Прямоугольная площадка и дорожка по её диагонали образуют прямоугольный треугольник. Длина и ширина площадки являются катетами, а диагональ — гипотенузой.
Обозначим:
- Длина площадки (первый катет) — \(a = 15\) м.
- Ширина площадки (второй катет) — \(b = 12\) м.
- Длина дорожки (гипотенуза) — \(c\).
По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[15^2 + 12^2 = c^2\] \[225 + 144 = c^2\] \[369 = c^2\]Чтобы найти \(c\), извлечем квадратный корень из 369:
\[c = \sqrt{369}\]Разложим 369 на множители, чтобы упростить корень:
\[369 = 9 \cdot 41\] \[c = \sqrt{9 \cdot 41}\] \[c = 3\sqrt{41}\]Таким образом, длина дорожки будет \(3\sqrt{41}\) метров. Если требуется приближенное значение, то \(\sqrt{41} \approx 6.4\), тогда \(c \approx 3 \cdot 6.4 = 19.2\) метра.
Ответ: \(3\sqrt{41}\) метров (или приблизительно 19.2 метра).
Задача 3. Маша наблюдает за воздушным змеем, который привязан к веревке длиной 25 метров. Если расстояние от змея до точки на земле прямо под змеем составляет 20 метров, на какой высоте находится воздушный змей?
Решение:
Ситуация с воздушным змеем, веревкой и точкой на земле образует прямоугольный треугольник. Веревка является гипотенузой, расстояние от змея до точки на земле (проекция) и высота, на которой находится змей, являются катетами.
Обозначим:
- Длина веревки (гипотенуза) — \(c = 25\) м.
- Расстояние от змея до точки на земле (один из катетов) — \(a = 20\) м.
- Высота, на которой находится змей (второй катет) — \(b\).
По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[20^2 + b^2 = 25^2\] \[400 + b^2 = 625\]Чтобы найти \(b^2\), вычтем 400 из 625:
\[b^2 = 625 - 400\] \[b^2 = 225\]Чтобы найти \(b\), извлечем квадратный корень из 225:
\[b = \sqrt{225}\] \[b = 15\]Таким образом, воздушный змей находится на высоте 15 метров.
Ответ: 15 метров.
Задача 4. Строители делают треугольную крышу для беседки. Один из катетов треугольника равен 5 метров, а гипотенуза - 13 метров. Чему равен второй катет?
Решение:
Крыша имеет форму прямоугольного треугольника. Известны один катет и гипотенуза, нужно найти второй катет.
Обозначим:
- Один из катетов — \(a = 5\) м.
- Гипотенуза — \(c = 13\) м.
- Второй катет — \(b\).
По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[5^2 + b^2 = 13^2\] \[25 + b^2 = 169\]Чтобы найти \(b^2\), вычтем 25 из 169:
\[b^2 = 169 - 25\] \[b^2 = 144\]Чтобы найти \(b\), извлечем квадратный корень из 144:
\[b = \sqrt{144}\] \[b = 12\]Таким образом, второй катет равен 12 метров.
Ответ: 12 метров.
Задача 5. В парке проложили две дорожки под прямым углом. Длина одной дорожки 9 метров, а длина пути по диагонали через газон между концами дорожек составляет 15 метров. Какова длина второй дорожки?
Решение:
Две дорожки, проложенные под прямым углом, и путь по диагонали через газон образуют прямоугольный треугольник. Длины дорожек являются катетами, а путь по диагонали — гипотенузой.
Обозначим:
- Длина одной дорожки (первый катет) — \(a = 9\) м.
- Длина пути по диагонали (гипотенуза) — \(c = 15\) м.
- Длина второй дорожки (второй катет) — \(b\).
По теореме Пифагора:
\[a^2 + b^2 = c^2\]Подставим известные значения:
\[9^2 + b^2 = 15^2\] \[81 + b^2 = 225\]Чтобы найти \(b^2\), вычтем 81 из 225:
\[b^2 = 225 - 81\] \[b^2 = 144\]Чтобы найти \(b\), извлечем квадратный корень из 144:
\[b = \sqrt{144}\] \[b = 12\]Таким образом, длина второй дорожки составляет 12 метров.
Ответ: 12 метров.