Найти f(-2) для разных функций

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку. Я проверяю свои знания 1. Найдите \(f(-2)\), если: а) \(f(x) = 2x + 3\) Подставим \(x = -2\) в функцию: \(f(-2) = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1\) Ответ: \(f(-2) = -1\) б) \(f(x) = -x^2 - 1\) Подставим \(x = -2\) в функцию: \(f(-2) = -(-2)^2 - 1 = -(4) - 1 = -4 - 1 = -5\) Ответ: \(f(-2) = -5\) в) \(f(x) = \frac{1}{2-x}\) Подставим \(x = -2\) в функцию: \(f(-2) = \frac{1}{2 - (-2)} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}\) Ответ: \(f(-2) = \frac{1}{4}\) г) \(f(x) = \sqrt{7-x}\) Подставим \(x = -2\) в функцию: \(f(-2) = \sqrt{7 - (-2)} = \sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3\) Ответ: \(f(-2) = 3\) 2. Выберите функции, графикам которых принадлежит точка \(N(-12; 1)\): Чтобы точка принадлежала графику функции, при подстановке её координат в уравнение функции должно получиться верное равенство. Точка \(N\) имеет координаты \(x = -12\) и \(y = 1\). а) \(y = -12x\) Подставим \(x = -12\) и \(y = 1\): \(1 = -12 \cdot (-12)\) \(1 = 144\) Это неверно. Значит, точка \(N\) не принадлежит графику этой функции. б) \(y = -x + 12\) Подставим \(x = -12\) и \(y = 1\): \(1 = -(-12) + 12\) \(1 = 12 + 12\) \(1 = 24\) Это неверно. Значит, точка \(N\) не принадлежит графику этой функции. в) \(y = -\frac{12}{x}\) Подставим \(x = -12\) и \(y = 1\): \(1 = -\frac{12}{-12}\) \(1 = 1\) Это верно. Значит, точка \(N\) принадлежит графику этой функции. г) \(y = x + 13\) Подставим \(x = -12\) и \(y = 1\): \(1 = -12 + 13\) \(1 = 1\) Это верно. Значит, точка \(N\) принадлежит графику этой функции. д) \(y = x^2 + 145\) Подставим \(x = -12\) и \(y = 1\): \(1 = (-12)^2 + 145\) \(1 = 144 + 145\) \(1 = 289\) Это неверно. Значит, точка \(N\) не принадлежит графику этой функции. Ответ: Точка \(N(-12; 1)\) принадлежит графикам функций в) \(y = -\frac{12}{x}\) и г) \(y = x + 13\). 3. Выберите функцию, график которой изображен на рисунке 64: На рисунке 64 изображен график функции, похожий на "галочку", что характерно для функций, содержащих модуль. Вершина "галочки" находится в точке \((2; 0)\). Давайте проверим каждую функцию: а) \(y = |x + 2| + 1\) Вершина этой функции будет в точке \((-2; 1)\). Это не совпадает с графиком. б) \(y = -|x - 2| - 1\) Вершина этой функции будет в точке \((2; -1)\), и "галочка" будет направлена вниз. Это не совпадает с графиком. в) \(y = |x - 2| - 1\) Вершина этой функции будет в точке \((2; -1)\). Это не совпадает с графиком. г) \(y = |x + 2| - 1\) Вершина этой функции будет в точке \((-2; -1)\). Это не совпадает с графиком. д) \(y = |x - 1| - 2\) Вершина этой функции будет в точке \((1; -2)\). Это не совпадает с графиком. Похоже, в предложенных вариантах нет функции, которая точно соответствует графику на рисунке 64. График на рисунке 64 имеет вершину в точке \((2; 0)\). Это означает, что функция должна быть вида \(y = |x - 2|\). Давайте проверим точки на графике: При \(x = 0\), \(y = 2\). Для \(y = |x - 2|\): \(y = |0 - 2| = |-2| = 2\). Верно. При \(x = 4\), \(y = 2\). Для \(y = |x - 2|\): \(y = |4 - 2| = |2| = 2\). Верно. При \(x = 6\), \(y = 4\). Для \(y = |x - 2|\): \(y = |6 - 2| = |4| = 4\). Верно. Возможно, в вариантах ответа есть опечатка, или я неправильно интерпретировал варианты. Если бы был вариант \(y = |x - 2|\), он был бы правильным. Давайте перепроверим варианты, возможно, я что-то упустил. На графике видно, что при \(x=2\), \(y=0\). а) \(y = |x + 2| + 1\). При \(x=2\), \(y = |2+2|+1 = 4+1 = 5\). Не подходит. б) \(y = -|x - 2| - 1\). При \(x=2\), \(y = -|2-2|-1 = -0-1 = -1\). Не подходит. в) \(y = |x - 2| - 1\). При \(x=2\), \(y = |2-2|-1 = 0-1 = -1\). Не подходит. г) \(y = |x + 2| - 1\). При \(x=2\), \(y = |2+2|-1 = 4-1 = 3\). Не подходит. д) \(y = |x - 1| - 2\). При \(x=2\), \(y = |2-1|-2 = 1-2 = -1\). Не подходит. Действительно, ни один из предложенных вариантов не соответствует графику \(y = |x - 2|\). Если бы вопрос был "выберите функцию, график которой *похож* на изображенный", то это была бы функция с модулем. Но ни одна из них не совпадает точно. Предположим, что в задании есть ошибка, и правильный ответ должен быть \(y = |x - 2|\). Если же нужно выбрать из предложенных, то ни одна не подходит. Для школьника, который переписывает, я бы указал, что ни один из вариантов не подходит, и правильная функция должна быть \(y = |x - 2|\). Ответ: Ни одна из предложенных функций не соответствует графику на рисунке 64. Правильная функция: \(y = |x - 2|\). 4. Каким свойством обладает график четной функции? Нечетной функции? Известно, что функция \(y = f(x)\) является четной, а функция \(y = q(x)\) - нечетной, и \(f(5) = 7\), \(q(-1) = 6\). Найдите значение выражения \(2f(-5) + q(1)\). Свойства графиков: График четной функции симметричен относительно оси \(Oy\). График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки \((0; 0)\)). Используем определения четной и нечетной функций: Для четной функции: \(f(-x) = f(x)\). Для нечетной функции: \(q(-x) = -q(x)\). Дано: \(f(x)\) - четная функция, \(f(5) = 7\). Значит, \(f(-5) = f(5) = 7\). \(q(x)\) - нечетная функция, \(q(-1) = 6\). Значит, \(q(1) = -q(-1) = -6\). Теперь найдем значение выражения \(2f(-5) + q(1)\): \(2f(-5) + q(1) = 2 \cdot 7 + (-6) = 14 - 6 = 8\) Ответ: График четной функции симметричен относительно оси \(Oy\). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значение выражения \(2f(-5) + q(1) = 8\). 5. Найдите промежутки знакопостоянства функции: Промежутки знакопостоянства - это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна). Для этого нужно найти корни функции (где \(f(x) = 0\)) и исследовать знак функции на интервалах между корнями. а) \(f(x) = 5x - 9\) Найдем корень: \(5x - 9 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5} = 1.8\). Рассмотрим интервалы: При \(x < 1.8\), например \(x = 0\), \(f(0) = 5 \cdot 0 - 9 = -9 < 0\). Функция отрицательна. При \(x > 1.8\), например \(x = 2\), \(f(2) = 5 \cdot 2 - 9 = 10 - 9 = 1 > 0\). Функция положительна. Ответ: \(f(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 1.8)\); \(f(x) > 0\) при \(x \in (1.8; +\infty)\). б) \(g(x) = x^2 - 11x + 30\) Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 11x + 30 = 0\). Используем теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \(x_1 + x_2 = 11\), \(x_1 \cdot x_2 = 30\). Корни: \(x_1 = 5\), \(x_2 = 6\). Парабола \(y = x^2 - 11x + 30\) имеет ветви, направленные вверх (так как коэффициент при \(x^2\) равен 1, что больше 0). Значит, функция положительна вне корней и отрицательна между корнями. Ответ: \(g(x) > 0\) при \(x \in (-\infty; 5) \cup (6; +\infty)\); \(g(x) < 0\) при \(x \in (5; 6)\). в) \(h(x) = \frac{9}{x}\) Функция не определена при \(x = 0\). Рассмотрим интервалы: При \(x < 0\), например \(x = -1\), \(h(-1) = \frac{9}{-1} = -9 < 0\). Функция отрицательна. При \(x > 0\), например \(x = 1\), \(h(1) = \frac{9}{1} = 9 > 0\). Функция положительна. Ответ: \(h(x) < 0\) при \(x \in (-\infty; 0)\); \(h(x) > 0\) при \(x \in (0; +\infty)\). 6. По графику функции, изображенному на рисунке 65, найдите: а) область определения функции; Область определения - это все значения \(x\), для которых функция существует. На графике это интервал по оси \(Ox\), который охватывает график. На рисунке 65 график начинается при \(x = -6\) и заканчивается при \(x = 9\). Все точки на этом интервале включены. Ответ: Область определения: \([-6; 9]\). б) множество значений функции; Множество значений - это все значения \(y\), которые принимает функция. На графике это интервал по оси \(Oy\), который охватывает график. Минимальное значение \(y\) на графике равно \(-4\), максимальное значение \(y\) равно \(4\). Ответ: Множество значений: \([-4; 4]\). в) нули функции; Нули функции - это значения \(x\), при которых \(y = 0\). Это точки пересечения графика с осью \(Ox\). На графике видно, что функция пересекает ось \(Ox\) в точках: \(x = -5\), \(x = -1\), \(x = 3\), \(x = 7\). Ответ: Нули функции: \(-5, -1, 3, 7\). г) промежутки знакопостоянства функции; Промежутки, где \(y > 0\) (график выше оси \(Ox\)): \((-5; -1)\) и \((3; 7)\). Промежутки, где \(y < 0\) (график ниже оси \(Ox\)): \([-6; -5)\), \((-1; 3)\) и \((7; 9]\). Ответ: \(y > 0\) при \(x \in (-5; -1) \cup (3; 7)\); \(y < 0\) при \(x \in [-6; -5) \cup (-1; 3) \cup (7; 9]\). д) промежутки монотонности функции. Промежутки возрастания (график идет вверх при движении слева направо): \([-3; 1]\) и \([5; 8]\). Промежутки убывания (график идет вниз при движении слева направо): \([-6; -3]\), \([1; 5]\) и \([8; 9]\). Ответ: Функция возрастает на \([-3; 1]\) и \([5; 8]\). Функция убывает на \([-6; -3]\), \([1; 5]\) и \([8; 9]\).