Решение задачи:
Нам дана таблица истинности для некоторого логического выражения. Наша задача — определить, какое из предложенных выражений соответствует этой таблице.
Таблица истинности:
| A |
B |
? |
| 0 |
0 |
0 |
| 0 |
1 |
1 |
| 1 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
0 |
Предложенные варианты выражений:
1. \(A \land \neg B\)
2. \(\neg A \land B\)
3. \(A \lor \neg B\)
4. \(\neg A \lor B\)
Давайте пошагово проверим каждое из предложенных выражений, построив для них таблицы истинности и сравнив их с заданной таблицей.
Шаг 1: Вспомним основные логические операции.
* Конъюнкция (логическое И, обозначается \(\land\)): истинна тогда и только тогда, когда оба операнда истинны.
* Дизъюнкция (логическое ИЛИ, обозначается \(\lor\)): истинна тогда, когда хотя бы один из операндов истинен.
* Отрицание (логическое НЕ, обозначается \(\neg\)): меняет значение операнда на противоположное (0 становится 1, 1 становится 0).
Шаг 2: Проверим выражение 1: \(A \land \neg B\)
Сначала найдем значения для \(\neg B\), а затем для \(A \land \neg B\).
| A |
B |
\(\neg B\) |
\(A \land \neg B\) |
| 0 |
0 |
1 |
\(0 \land 1 = 0\) |
| 0 |
1 |
0 |
\(0 \land 0 = 0\) |
| 1 |
0 |
1 |
\(1 \land 1 = 1\) |
| 1 |
1 |
0 |
\(1 \land 0 = 0\) |
Сравниваем столбец \(A \land \neg B\) с заданным столбцом "?":
Заданный: 0, 1, 0, 0
Полученный: 0, 0, 1, 0
Значения не совпадают. Это выражение не подходит.
Шаг 3: Проверим выражение 2: \(\neg A \land B\)
Сначала найдем значения для \(\neg A\), а затем для \(\neg A \land B\).
| A |
B |
\(\neg A\) |
\(\neg A \land B\) |
| 0 |
0 |
1 |
\(1 \land 0 = 0\) |
| 0 |
1 |
1 |
\(1 \land 1 = 1\) |
| 1 |
0 |
0 |
\(0 \land 0 = 0\) |
| 1 |
1 |
0 |
\(0 \land 1 = 0\) |
Сравниваем столбец \(\neg A \land B\) с заданным столбцом "?":
Заданный: 0, 1, 0, 0
Полученный: 0, 1, 0, 0
Значения полностью совпадают! Это выражение подходит.
Шаг 4: (Для полноты проверки, хотя мы уже нашли ответ) Проверим выражение 3: \(A \lor \neg B\)
Сначала найдем значения для \(\neg B\), а затем для \(A \lor \neg B\).
| A |
B |
\(\neg B\) |
\(A \lor \neg B\) |
| 0 |
0 |
1 |
\(0 \lor 1 = 1\) |
| 0 |
1 |
0 |
\(0 \lor 0 = 0\) |
| 1 |
0 |
1 |
\(1 \lor 1 = 1\) |
| 1 |
1 |
0 |
\(1 \lor 0 = 1\) |
Сравниваем столбец \(A \lor \neg B\) с заданным столбцом "?":
Заданный: 0, 1, 0, 0
Полученный: 1, 0, 1, 1
Значения не совпадают. Это выражение не подходит.
Шаг 5: (Для полноты проверки) Проверим выражение 4: \(\neg A \lor B\)
Сначала найдем значения для \(\neg A\), а затем для \(\neg A \lor B\).
| A |
B |
\(\neg A\) |
\(\neg A \lor B\) |
| 0 |
0 |
1 |
\(1 \lor 0 = 1\) |
| 0 |
1 |
1 |
\(1 \lor 1 = 1\) |
| 1 |
0 |
0 |
\(0 \lor 0 = 0\) |
| 1 |
1 |
0 |
\(0 \lor 1 = 1\) |
Сравниваем столбец \(\neg A \lor B\) с заданным столбцом "?":
Заданный: 0, 1, 0, 0
Полученный: 1, 1, 0, 1
Значения не совпадают. Это выражение не подходит.
Вывод:
Единственное выражение, таблица истинности которого полностью совпадает с заданной, это \(\neg A \land B\).
Ответ:
Правильное выражение: \(\neg A \land B\).
