Задача по электротехнике
Дано:
Параметры резистивных элементов:
\(R_1 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_2 = 20 \, \text{Ом}\)
\(R_3 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_4 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_5 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_6 = 10 \, \text{Ом}\)
\(R_7 = 30 \, \text{Ом}\)
Параметры индуктивных элементов:
\(L_1 = 12.7 \, \text{мГн}\)
\(L_2 = 25.4 \, \text{мГн}\)
\(L_3 = 63.8 \, \text{мГн}\)
\(L_4 = 95.5 \, \text{мГн}\)
\(L_5 = 19.1 \, \text{мГн}\)
\(L_6 = 31.8 \, \text{мГн}\)
\(L_7 = \text{нет данных}\)
Параметры емкостных элементов:
\(C_1 = 1062 \, \text{мкФ}\)
\(C_2 = 212.5 \, \text{мкФ}\)
\(C_3 = 152 \, \text{мкФ}\)
\(C_4 = 532 \, \text{мкФ}\)
\(C_5 = 106.3 \, \text{мкФ}\)
\(C_6 = 177 \, \text{мкФ}\)
Частота \(f = 50 \, \text{Гц}\)
Напряжение на входе \(V_1 = 100 \, \text{В}\)
Требуется:
- Найти все токи в схеме.
- Определить напряжение на входе схемы и падение напряжения на элементах схемы.
- Построить в масштабе векторную диаграмму токов и напряжений.
- Вычислить потребляемые активную, реактивную и полную мощности.
- Записать выражения для мгновенных значений напряжения и тока на входе схемы.
Схема:
На основе предоставленного изображения схемы, можно выделить следующие элементы и их соединения:
Источник напряжения \(V_1\).
Параллельно источнику \(V_1\) подключен источник \(V_2\).
Последовательно с \(V_2\) подключен амперметр \(A_1\).
Параллельно \(A_1\) подключен резистор \(R_2\).
Последовательно с \(R_2\) подключен индуктивный элемент \(L_4\).
Параллельно \(L_4\) подключен емкостной элемент \(C_4\).
Последовательно с \(C_4\) подключен резистор \(R_5\).
Параллельно \(R_5\) подключен резистор \(R_7\).
Однако, схема на изображении не соответствует полному набору элементов, указанных в таблицах. Будем использовать элементы, которые явно видны на схеме: \(V_1\), \(V_2\), \(A_1\), \(R_2\), \(L_4\), \(C_4\), \(R_5\), \(R_7\).
Предположим, что \(V_1\) - это входное напряжение, а \(V_2\) - это вольтметр, измеряющий напряжение на параллельном участке. \(A_1\) - амперметр, измеряющий ток в ветви с \(R_2\).
Схема состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к источнику \(V_1\).
Ветвь 1: \(V_2\) (вольтметр) и \(A_1\) (амперметр) последовательно с \(R_2\).
Ветвь 2: Последовательное соединение \(L_4\), \(C_4\), \(R_5\), к которому параллельно подключен \(R_7\).
Такая интерпретация схемы вызывает вопросы, так как \(V_2\) и \(A_1\) обычно не являются элементами, через которые протекает ток в основной цепи. Скорее всего, \(V_1\) - это источник напряжения, а \(V_2\) и \(A_1\) - измерительные приборы, которые показывают напряжение и ток в определенных точках схемы.
Перерисуем схему, исходя из стандартных обозначений и предположений:
Источник напряжения \(V_1\) подключен к двум параллельным ветвям.
Ветвь 1: Резистор \(R_2\).
Ветвь 2: Последовательное соединение \(L_4\), \(C_4\), \(R_5\), к которому параллельно подключен \(R_7\).
Тогда \(V_2\) измеряет напряжение на \(R_2\), а \(A_1\) измеряет ток через \(R_2\).
Однако, на схеме \(R_2\) и \(L_4\) с \(C_4\) и \(R_5\) и \(R_7\) соединены иначе.
Давайте рассмотрим схему как она нарисована, игнорируя \(V_2\) и \(A_1\) как измерительные приборы, а считая их элементами схемы, если это необходимо для решения.
На схеме:
К источнику \(V_1\) подключены параллельно две ветви.
Ветвь 1: \(R_2\).
Ветвь 2: Последовательно соединены \(L_4\), \(C_4\), \(R_5\). Параллельно этому последовательному соединению подключен \(R_7\).
\(V_2\) и \(A_1\) нарисованы как измерительные приборы. \(V_2\) измеряет напряжение на \(R_2\). \(A_1\) измеряет ток через \(R_2\).
Будем считать, что \(V_1\) - это источник напряжения, а остальные элементы - это нагрузка.
Схема состоит из двух параллельных ветвей, подключенных к источнику \(V_1\).
Ветвь 1: Резистор \(R_2\).
Ветвь 2: Параллельное соединение двух подветвей:
Подветвь 2.1: Последовательное соединение индуктивности \(L_4\), емкости \(C_4\) и резистора \(R_5\).
Подветвь 2.2: Резистор \(R_7\).
Решение:
1. Вычислим угловую частоту \(\omega\):
\[\omega = 2 \pi f\]
\[\omega = 2 \cdot 3.14159 \cdot 50 \, \text{Гц} = 314.159 \, \text{рад/с}\]
2. Вычислим реактивные сопротивления индуктивных и емкостных элементов, присутствующих в схеме:
Индуктивное сопротивление \(X_{L4}\):
\[X_{L4} = \omega L_4\]
\[L_4 = 95.5 \, \text{мГн} = 95.5 \cdot 10^{-3} \, \text{Гн}\]
\[X_{L4} = 314.159 \, \text{рад/с} \cdot 95.5 \cdot 10^{-3} \, \text{Гн} \approx 29.99 \, \text{Ом}\]
Округлим до \(30 \, \text{Ом}\).
Емкостное сопротивление \(X_{C4}\):
\[X_{C4} = \frac{1}{\omega C_4}\]
\[C_4 = 532 \, \text{мкФ} = 532 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}\]
\[X_{C4} = \frac{1}{314.159 \, \text{рад/с} \cdot 532 \cdot 10^{-6} \, \text{Ф}} \approx \frac{1}{0.1671} \approx 5.98 \, \text{Ом}\]
Округлим до \(6 \, \text{Ом}\).
3. Определим полное сопротивление подветви 2.1 (последовательное соединение \(L_4\), \(C_4\), \(R_5\)):
\[Z_{2.1} = R_5 + j(X_{L4} - X_{C4})\]
\[R_5 = 10 \, \text{Ом}\]
\[Z_{2.1} = 10 + j(30 - 6) = 10 + j24 \, \text{Ом}\]
4. Определим полное сопротивление ветви 2 (параллельное соединение \(Z_{2.1}\) и \(R_7\)):
\[Z_2 = \frac{Z_{2.1} \cdot R_7}{Z_{2.1} + R_7}\]
\[R_7 = 30 \, \text{Ом}\]
\[Z_2 = \frac{(10 + j24) \cdot 30}{(10 + j24) + 30} = \frac{300 + j720}{40 + j24}\]
Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю:
\[Z_2 = \frac{(300 + j720)(40 - j24)}{(40 + j24)(40 - j24)}\]
Знаменатель: \(40^2 + 24^2 = 1600 + 576 = 2176\)
Числитель: \((300 \cdot 40) + (300 \cdot (-j24)) + (j720 \cdot 40) + (j720 \cdot (-j24))\)
\[= 12000 - j7200 + j28800 - j^2 17280\]
\[= 12000 + 17280 + j(28800 - 7200)\]
\[= 29280 + j21600\]
\[Z_2 = \frac{29280 + j21600}{2176} \approx 13.456 + j9.926 \, \text{Ом}\]
5. Определим полное сопротивление всей схемы \(Z_{общ}\) (параллельное соединение \(R_2\) и \(Z_2\)):
\[R_2 = 20 \, \text{Ом}\]
\[Z_{общ} = \frac{R_2 \cdot Z_2}{R_2 + Z_2}\]
\[Z_{общ} = \frac{20 \cdot (13.456 + j9.926)}{20 + (13.456 + j9.926)} = \frac{269.12 + j198.52}{33.456 + j9.926}\]
Умножим числитель и знаменатель на комплексно-сопряженное знаменателю:
\[Z_{общ} = \frac{(269.12 + j198.52)(33.456 - j9.926)}{(33.456 + j9.926)(33.456 - j9.926)}\]
Знаменатель: \(33.456^2 + 9.926^2 \approx 1119.5 + 98.5 = 1218\)
Числитель: \((269.12 \cdot 33.456) + (269.12 \cdot (-j9.926)) + (j198.52 \cdot 33.456) + (j198.52 \cdot (-j9.926))\)
\[= 9000.6 - j2671.5 + j6642.5 + 1970.4\]
\[= 10971 + j3971\]
\[Z_{общ} = \frac{10971 + j3971}{1218} \approx 9.007 + j3.260 \, \text{Ом}\]
6. Находим общий ток на входе схемы \(I_{общ}\):
\[V_1 = 100 \, \text{В}\]
Примем фазу входного напряжения за 0, то есть \(V_1 = 100 \angle 0^\circ \, \text{В}\).
\[I_{общ} = \frac{V_1}{Z_{общ}}\]
Модуль \(Z_{общ}\): \(|Z_{общ}| = \sqrt{9.007^2 + 3.260^2} = \sqrt{81.126 + 10.627} = \sqrt{91.753} \approx 9.579 \, \text{Ом}\)
Угол \(Z_{общ}\): \(\phi_{Z_{общ}} = \arctan\left(\frac{3.260}{9.007}\right) \approx \arctan(0.3619) \approx 19.9^\circ\)
\[Z_{общ} \approx 9.579 \angle 19.9^\circ \, \text{Ом}\]
\[I_{общ} = \frac{100 \angle 0^\circ}{9.579 \angle 19.9^\circ} \approx 10.44 \angle -19.9^\circ \, \text{А}\]
7. Находим токи в параллельных ветвях:
Напряжение на обеих параллельных ветвях равно \(V_1 = 100 \angle 0^\circ \, \text{В}\).
Ток через ветвь 1 (резистор \(R_2\)):
\[I_1 = \frac{V_1}{R_2} = \frac{100 \angle 0^\circ}{20 \angle 0^\circ} = 5 \angle 0^\circ \, \text{А}\]
Ток через ветвь 2 (параллельное соединение \(Z_{2.1}\) и \(R_7\)):
\[