Решение задачи: Дисперсность системы и характеристики частиц

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику.
Дано: Масса дисперсной фазы \(m = 5\) кг Плотность дисперсной фазы \(\rho = 1 \cdot 10^3\) кг/м\(^3\) Форма частиц: шар Радиус частицы \(r = 4 \cdot 10^{-4}\) м
Найти: 1. Дисперсность системы \(D\) 2. Удельную поверхность \(S_{уд}\) 3. Объем одной частицы \(V_0\) 4. Поверхность одной частицы \(S_0\) 5. Массу одной частицы \(m_0\) 6. Общую поверхность всех частиц \(S\) 7. Число частиц \(N\)
Решение:
1. Расчет дисперсности системы \(D\) и удельной поверхности \(S_{уд}\).
Дисперсность системы \(D\) определяется как величина, обратная линейному размеру частиц. Для шарообразных частиц линейным размером является диаметр \(d = 2r\). \[D = \frac{1}{d} = \frac{1}{2r}\] Подставим значения: \[D = \frac{1}{2 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}} = \frac{1}{8 \cdot 10^{-4} \text{ м}} = 0.125 \cdot 10^4 \text{ м}^{-1} = 1250 \text{ м}^{-1}\]
Удельная поверхность \(S_{уд}\) – это отношение общей поверхности всех частиц к массе дисперсной фазы. \[S_{уд} = \frac{S}{m}\] Также удельную поверхность можно выразить через плотность и дисперсность: \[S_{уд} = \frac{6}{\rho \cdot d} = \frac{3}{\rho \cdot r}\] Подставим значения: \[S_{уд} = \frac{3}{1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}} = \frac{3}{4 \cdot 10^{-1} \text{ кг/м}^2} = \frac{3}{0.4 \text{ кг/м}^2} = 7.5 \text{ м}^2/\text{кг}\]
2. Расчет параметров частицы дисперсной фазы: объем \(V_0\), поверхность \(S_0\), масса \(m_0\).
Объем одной шарообразной частицы \(V_0\): \[V_0 = \frac{4}{3} \pi r^3\] Подставим значения: \[V_0 = \frac{4}{3} \cdot 3.14159 \cdot (4 \cdot 10^{-4} \text{ м})^3 = \frac{4}{3} \cdot 3.14159 \cdot 64 \cdot 10^{-12} \text{ м}^3\] \[V_0 \approx 268.08 \cdot 10^{-12} \text{ м}^3 \approx 2.68 \cdot 10^{-10} \text{ м}^3\]
Поверхность одной шарообразной частицы \(S_0\): \[S_0 = 4 \pi r^2\] Подставим значения: \[S_0 = 4 \cdot 3.14159 \cdot (4 \cdot 10^{-4} \text{ м})^2 = 4 \cdot 3.14159 \cdot 16 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2\] \[S_0 \approx 201.06 \cdot 10^{-8} \text{ м}^2 \approx 2.01 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2\]
Масса одной частицы \(m_0\): \[m_0 = \rho \cdot V_0\] Подставим значения: \[m_0 = 1 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3 \cdot 2.68 \cdot 10^{-10} \text{ м}^3 = 2.68 \cdot 10^{-7} \text{ кг}\]
3. Расчет общей поверхности всех частиц \(S\) и числа частиц \(N\) в дисперсной системе.
Общая поверхность всех частиц \(S\): Мы знаем, что \(S_{уд} = \frac{S}{m}\), отсюда \(S = S_{уд} \cdot m\). Подставим значения: \[S = 7.5 \text{ м}^2/\text{кг} \cdot 5 \text{ кг} = 37.5 \text{ м}^2\]
Число частиц \(N\) в дисперсной системе: \[N = \frac{m}{m_0}\] Подставим значения: \[N = \frac{5 \text{ кг}}{2.68 \cdot 10^{-7} \text{ кг}} \approx 1.865 \cdot 10^7\] Или можно рассчитать как \(N = \frac{S}{S_0}\): \[N = \frac{37.5 \text{ м}^2}{2.01 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2} \approx 1.866 \cdot 10^7\] Небольшая разница в результатах обусловлена округлением промежуточных значений.
Ответ: 1. Дисперсность системы \(D = 1250\) м\(^{-1}\). 2. Удельная поверхность \(S_{уд} = 7.5\) м\(^2\)/кг. 3. Объем одной частицы \(V_0 \approx 2.68 \cdot 10^{-10}\) м\(^3\). 4. Поверхность одной частицы \(S_0 \approx 2.01 \cdot 10^{-6}\) м\(^2\). 5. Масса одной частицы \(m_0 \approx 2.68 \cdot 10^{-7}\) кг. 6. Общая поверхность всех частиц \(S = 37.5\) м\(^2\). 7. Число частиц \(N \approx 1.87 \cdot 10^7\).