Решение уравнения log₁₂(cos x ⋅ sin 2x + 8) = 3 на интервале [3π/2, 3π]

Хорошо, давайте решим это уравнение. Уравнение: \[ \log_{12}(\cos x \cdot \sin 2x + 8) = 3 \] Интервал: \[ \left[ \frac{3\pi}{2}, 3\pi \right] \] Решение: Шаг 1: Избавимся от логарифма. По определению логарифма, если \( \log_a b = c \), то \( b = a^c \). В нашем случае \( a = 12 \), \( b = \cos x \cdot \sin 2x + 8 \), \( c = 3 \). Значит, \[ \cos x \cdot \sin 2x + 8 = 12^3 \] \[ \cos x \cdot \sin 2x + 8 = 1728 \] Шаг 2: Упростим уравнение. Вычтем 8 из обеих частей уравнения: \[ \cos x \cdot \sin 2x = 1728 - 8 \] \[ \cos x \cdot \sin 2x = 1720 \] Шаг 3: Используем формулу двойного угла для синуса. Мы знаем, что \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \). Подставим это в уравнение: \[ \cos x \cdot (2 \sin x \cos x) = 1720 \] \[ 2 \sin x \cos^2 x = 1720 \] Шаг 4: Оценим возможные значения левой части. Мы знаем, что \( -1 \le \sin x \le 1 \) и \( -1 \le \cos x \le 1 \). Следовательно, \( 0 \le \cos^2 x \le 1 \). Максимальное значение выражения \( 2 \sin x \cos^2 x \) может быть достигнуто, когда \( \sin x \) и \( \cos^2 x \) максимально возможны. Максимальное значение \( 2 \sin x \cos^2 x \) равно \( 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2 \). Минимальное значение \( 2 \sin x \cos^2 x \) равно \( 2 \cdot (-1) \cdot 1 = -2 \). Таким образом, левая часть уравнения \( 2 \sin x \cos^2 x \) всегда находится в диапазоне \( [-2, 2] \). Шаг 5: Сравним левую и правую части. Мы получили уравнение: \[ 2 \sin x \cos^2 x = 1720 \] Левая часть уравнения \( 2 \sin x \cos^2 x \) может принимать значения только от -2 до 2. Правая часть уравнения равна 1720. Так как \( 1720 > 2 \), то левая часть никогда не может быть равна правой части. Вывод: Уравнение не имеет решений. Ответ: Уравнение не имеет решений на заданном интервале, так как оно не имеет решений вообще.