Решение задачи №1 по физике: Динамика. 1 вариант

Вот решения задач из контрольной работы. Контрольная работа №2 «Динамика. Законы сохранения в механике» 1 вариант 1) Законы Ньютона 1. С каким ускорением двигался при разбеге реактивный самолёт массой 50 т, если сила тяги двигателей 80 кН? Дано: Масса самолёта \(m = 50 \text{ т} = 50000 \text{ кг}\) Сила тяги двигателей \(F = 80 \text{ кН} = 80000 \text{ Н}\) Найти: Ускорение \(a\) Решение: Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение: \[F = m \cdot a\] Отсюда ускорение можно найти как: \[a = \frac{F}{m}\] Подставляем значения: \[a = \frac{80000 \text{ Н}}{50000 \text{ кг}} = 1,6 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение самолёта равно \(1,6 \text{ м/с}^2\). 2. Чему равна сила, сообщающая телу массой 3 кг ускорение \(0,4 \text{ м/с}^2\)? Дано: Масса тела \(m = 3 \text{ кг}\) Ускорение \(a = 0,4 \text{ м/с}^2\) Найти: Сила \(F\) Решение: Используем второй закон Ньютона: \[F = m \cdot a\] Подставляем значения: \[F = 3 \text{ кг} \cdot 0,4 \text{ м/с}^2 = 1,2 \text{ Н}\] Ответ: Сила равна \(1,2 \text{ Н}\). 3. Лыжник массой 60 кг, имеющий в конце спуска скорость 36 км/ч, остановился через 40 с после окончания спуска. Определите силу сопротивления его движению. Дано: Масса лыжника \(m = 60 \text{ кг}\) Начальная скорость \(v_0 = 36 \text{ км/ч}\) Конечное время \(t = 40 \text{ с}\) Конечная скорость \(v = 0 \text{ м/с}\) (лыжник остановился) Найти: Сила сопротивления \(F_{сопр}\) Решение: Сначала переведём начальную скорость из км/ч в м/с: \[v_0 = 36 \text{ км/ч} = \frac{36 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}\] Найдём ускорение (в данном случае замедление) лыжника: \[a = \frac{v - v_0}{t}\] \[a = \frac{0 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{40 \text{ с}} = -0,25 \text{ м/с}^2\] Знак минус указывает на то, что это замедление. Сила сопротивления, согласно второму закону Ньютона, равна произведению массы на ускорение: \[F_{сопр} = m \cdot |a|\] \[F_{сопр} = 60 \text{ кг} \cdot 0,25 \text{ м/с}^2 = 15 \text{ Н}\] Ответ: Сила сопротивления движению лыжника равна \(15 \text{ Н}\). 2) Закон всемирного тяготения. Движение тела по окружности. Искусственные спутники Земли. 1. Масса Юпитера \(1,9 \cdot 10^{27} \text{ кг}\), его средний радиус \(7,13 \cdot 10^7 \text{ м}\). Чему равно ускорение свободного падения для планеты Юпитер? Дано: Масса Юпитера \(M_Ю = 1,9 \cdot 10^{27} \text{ кг}\) Радиус Юпитера \(R_Ю = 7,13 \cdot 10^7 \text{ м}\) Гравитационная постоянная \(G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2\) Найти: Ускорение свободного падения \(g_Ю\) Решение: Ускорение свободного падения на поверхности планеты определяется формулой: \[g = G \frac{M}{R^2}\] Подставляем значения для Юпитера: \[g_Ю = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ Н} \cdot \text{м}^2/\text{кг}^2 \cdot \frac{1,9 \cdot 10^{27} \text{ кг}}{(7,13 \cdot 10^7 \text{ м})^2}\] \[g_Ю = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{1,9 \cdot 10^{27}}{50,8369 \cdot 10^{14}}\] \[g_Ю = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 0,03737 \cdot 10^{13}\] \[g_Ю \approx 24,92 \text{ м/с}^2\] Ответ: Ускорение свободного падения на Юпитере примерно равно \(24,92 \text{ м/с}^2\). 2. Определите скорость движения спутника вокруг Земли по круговой орбите на высоте, равной радиусу Земли, если первая космическая скорость у поверхности Земли равна 8 км/с. Дано: Высота орбиты \(h = R_З\) (радиус Земли) Первая космическая скорость у поверхности Земли \(v_1 = 8 \text{ км/с} = 8000 \text{ м/с}\) Найти: Скорость спутника \(v\) на высоте \(h = R_З\) Решение: Первая космическая скорость на высоте \(h\) над поверхностью Земли определяется формулой: \[v = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З + h}}\] Где \(G\) – гравитационная постоянная, \(M_З\) – масса Земли, \(R_З\) – радиус Земли. Первая космическая скорость у поверхности Земли (\(h=0\)) равна: \[v_1 = \sqrt{\frac{G M_З}{R_З}}\] Из этого выражения можно найти \(G M_З = v_1^2 R_З\). Теперь подставим это в формулу для скорости на высоте \(h = R_З\): \[v = \sqrt{\frac{v_1^2 R_З}{R_З + R_З}} = \sqrt{\frac{v_1^2 R_З}{2 R_З}} = \sqrt{\frac{v_1^2}{2}} = \frac{v_1}{\sqrt{2}}\] Подставляем значение \(v_1\): \[v = \frac{8000 \text{ м/с}}{\sqrt{2}} \approx \frac{8000}{1,414} \text{ м/с} \approx 5657 \text{ м/с}\] \[v \approx 5,66 \text{ км/с}\] Ответ: Скорость движения спутника на данной орбите примерно равна \(5,66 \text{ км/с}\). 3. Железнодорожный вагон движется по закруглению радиусом 50 м. Чему равна скорость вагона, если он движется с центростремительным ускорением \(2 \text{ м/с}^2\)? Дано: Радиус закругления \(R = 50 \text{ м}\) Центростремительное ускорение \(a_ц = 2 \text{ м/с}^2\) Найти: Скорость вагона \(v\) Решение: Формула для центростремительного ускорения: \[a_ц = \frac{v^2}{R}\] Отсюда скорость: \[v^2 = a_ц \cdot R\] \[v = \sqrt{a_ц \cdot R}\] Подставляем значения: \[v = \sqrt{2 \text{ м/с}^2 \cdot 50 \text{ м}} = \sqrt{100 \text{ м}^2/\text{с}^2} = 10 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость вагона равна \(10 \text{ м/с}\). 3) Закон сохранения импульса. Закон сохранения энергии. 1. Двигаясь со скоростью 4 м/с, молоток массой 0,5 кг ударяет по гвоздю. Определите среднюю силу удара, если его продолжительность 0,1 с. Дано: Начальная скорость молотка \(v_0 = 4 \text{ м/с}\) Масса молотка \(m = 0,5 \text{ кг}\) Продолжительность удара \(\Delta t = 0,1 \text{ с}\) Конечная скорость молотка \(v = 0 \text{ м/с}\) (после удара молоток останавливается) Найти: Средняя сила удара \(F_{ср}\) Решение: Изменение импульса тела равно импульсу силы, действующей на тело (второй закон Ньютона в импульсной форме): \[\Delta p = F_{ср} \cdot \Delta t\] Изменение импульса \(\Delta p = m \cdot v - m \cdot v_0\). Так как \(v = 0\), то \(\Delta p = -m \cdot v_0\). Тогда: \[-m \cdot v_0 = F_{ср} \cdot \Delta t\] Средняя сила удара (по модулю): \[F_{ср} = \frac{m \cdot v_0}{\Delta t}\] Подставляем значения: \[F_{ср} = \frac{0,5 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с}}{0,1 \text{ с}} = \frac{2 \text{ кг} \cdot \text{м/с}}{0,1 \text{ с}} = 20 \text{ Н}\] Ответ: Средняя сила удара равна \(20 \text{ Н}\). 2. Поезд массой 2000 т, двигаясь прямолинейно, уменьшил скорость от 54 до 36 км/ч. Чему равно изменение импульса поезда? Дано: Масса поезда \(m = 2000 \text{ т} = 2000000 \text{ кг}\) Начальная скорость \(v_0 = 54 \text{ км/ч}\) Конечная скорость \(v = 36 \text{ км/ч}\) Найти: Изменение импульса \(\Delta p\) Решение: Сначала переведём скорости из км/ч в м/с: \[v_0 = 54 \text{ км/ч} = \frac{54 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}\] \[v = 36 \text{ км/ч} = \frac{36 \cdot 1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 10 \text{ м/с}\] Изменение импульса определяется как разность конечного и начального импульсов: \[\Delta p = p - p_0 = m \cdot v - m \cdot v_0 = m \cdot (v - v_0)\] Подставляем значения: \[\Delta p = 2000000 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с} - 15 \text{ м/с})\] \[\Delta p = 2000000 \text{ кг} \cdot (-5 \text{ м/с}) = -10000000 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] \[\Delta p = -10^7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Знак минус означает, что импульс уменьшился. Ответ: Изменение импульса поезда равно \(-10^7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\) (или импульс уменьшился на \(10^7 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\)). 3. Кинетическая энергия тела в момент бросания равна 200 Дж. Определите, на какую максимальную высоту над поверхностью земли может подняться тело, если его масса равна 500 г. Дано: Начальная кинетическая энергия \(E_к = 200 \text{ Дж}\) Масса тела \(m = 500 \text{ г} = 0,5 \text{ кг}\) Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) (можно использовать \(10 \text{ м/с}^2\) для упрощения расчетов, если это принято в школе) Найти: Максимальная высота \(h\) Решение: Согласно закону сохранения энергии, вся начальная кинетическая энергия тела перейдёт в потенциальную энергию на максимальной высоте (в верхней точке подъёма скорость тела станет равной нулю, и вся кинетическая энергия превратится в потенциальную). \[E_к = E_п\] \[E_к = m \cdot g \cdot h\] Отсюда максимальная высота: \[h = \frac{E_к}{m \cdot g}\] Подставляем значения (используем \(g = 10 \text{ м/с}^2\)): \[h = \frac{200 \text{ Дж}}{0,5 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2} = \frac{200 \text{ Дж}}{5 \text{ Н}} = 40 \text{ м}\] Если использовать \(g = 9,8 \text{ м/с}^2\): \[h = \frac{200 \text{ Дж}}{0,5 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2} = \frac{200 \text{ Дж}}{4,9 \text{ Н}} \approx 40,82 \text{ м}\] Для школьных задач часто допускается округление \(g\) до \(10 \text{ м/с}^2\). Ответ: Тело может подняться на максимальную высоту \(40 \text{ м}\) (при \(g = 10 \text{ м/с}^2\)).