Задача 7. Решите неравенство:
1) \(\frac{6-x}{x+5} \ge 0\)
Для решения этого неравенства используем метод интервалов.
1. Найдем нули числителя и знаменателя: * Числитель: \(6-x = 0 \Rightarrow x = 6\) * Знаменатель: \(x+5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
2. Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \(x=6\) будет закрашенной (так как неравенство нестрогое, и числитель может быть равен нулю), а точка \(x=-5\) будет выколотой (так как знаменатель не может быть равен нулю).
\[ \begin{array}{ccccccc} \text{Знаки выражения } \frac{6-x}{x+5} & & + & & - & & + \\ \text{Интервалы} & (-\infty, -5) & & (-5, 6] & & [6, +\infty) & \\ \text{Точки} & & -5 & & 6 & & \end{array} \]
3. Проверим знаки выражения на полученных интервалах: * Возьмем \(x < -5\), например \(x = -6\): \(\frac{6-(-6)}{-6+5} = \frac{12}{-1} = -12 < 0\). * Возьмем \(-5 < x < 6\), например \(x = 0\): \(\frac{6-0}{0+5} = \frac{6}{5} > 0\). * Возьмем \(x > 6\), например \(x = 7\): \(\frac{6-7}{7+5} = \frac{-1}{12} < 0\).
4. Нам нужны интервалы, где выражение \(\ge 0\). Это интервал \((-5, 6]\).
Ответ: \(x \in (-5, 6]\).
2) \(\frac{x^2-5x+4}{x^2-6x+9} \le 0\)
1. Разложим числитель и знаменатель на множители. * Числитель: \(x^2-5x+4 = 0\). Найдем корни квадратного уравнения: Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\). \(x_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2} = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1\). \(x_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2} = \frac{5+3}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Значит, \(x^2-5x+4 = (x-1)(x-4)\).
* Знаменатель: \(x^2-6x+9 = (x-3)^2\).
2. Перепишем неравенство: \(\frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2} \le 0\).
3. Найдем нули числителя и знаменателя: * Числитель: \(x=1, x=4\). Эти точки будут закрашенными. * Знаменатель: \(x=3\). Эта точка будет выколотой.
4. Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки на интервалах. Обратите внимание, что \((x-3)^2\) всегда неотрицательно, кроме \(x=3\), где оно равно нулю.
\[ \begin{array}{ccccccccc} \text{Знаки выражения } \frac{(x-1)(x-4)}{(x-3)^2} & & + & & - & & - & & + \\ \text{Интервалы} & (-\infty, 1) & & [1, 3) & & (3, 4] & & [4, +\infty) & \\ \text{Точки} & & 1 & & 3 & & 4 & & \end{array} \]
5. Проверим знаки выражения на полученных интервалах: * Возьмем \(x < 1\), например \(x = 0\): \(\frac{(0-1)(0-4)}{(0-3)^2} = \frac{(-1)(-4)}{9} = \frac{4}{9} > 0\). * Возьмем \(1 < x < 3\), например \(x = 2\): \(\frac{(2-1)(2-4)}{(2-3)^2} = \frac{(1)(-2)}{(-1)^2} = \frac{-2}{1} = -2 < 0\). * Возьмем \(3 < x < 4\), например \(x = 3.5\): \(\frac{(3.5-1)(3.5-4)}{(3.5-3)^2} = \frac{(2.5)(-0.5)}{(0.5)^2} = \frac{-1.25}{0.25} = -5 < 0\). * Возьмем \(x > 4\), например \(x = 5\): \(\frac{(5-1)(5-4)}{(5-3)^2} = \frac{(4)(1)}{2^2} = \frac{4}{4} = 1 > 0\).
6. Нам нужны интервалы, где выражение \(\le 0\). Это интервалы \([1, 3)\) и \((3, 4]\).
Ответ: \(x \in [1, 3) \cup (3, 4]\).
Задача 8. Найдите область определения функции:
1) \(y = x^2 - 8x\)
Эта функция является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел.
Ответ: Область определения \(x \in (-\infty, +\infty)\).
2) \(y = \sqrt{5x - 2}\)
Для того чтобы квадратный корень имел смысл, выражение под корнем должно быть неотрицательным.
\(5x - 2 \ge 0\) \(5x \ge 2\) \(x \ge \frac{2}{5}\)
Ответ: Область определения \(x \in \left[\frac{2}{5}, +\infty\right)\).
3) \(y = \frac{1}{2y^2 - 5y - 3}\)
Для того чтобы дробь имела смысл, знаменатель не должен быть равен нулю.
\(2y^2 - 5y - 3 \ne 0\)
Найдем корни квадратного уравнения \(2y^2 - 5y - 3 = 0\). Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\). \(y_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5-7}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\). \(y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{5+7}{4} = \frac{12}{4} = 3\).
Значит, \(y \ne -\frac{1}{2}\) и \(y \ne 3\).
Ответ: Область определения \(y \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup \left(-\frac{1}{2}, 3\right) \cup (3, +\infty)\).
Задача 9. Найдите значение выражения \(9b + \frac{5a - 9b^2}{b}\) при \(a = 9, b = 36\).
Сначала упростим выражение: \(9b + \frac{5a - 9b^2}{b} = 9b + \frac{5a}{b} - \frac{9b^2}{b} = 9b + \frac{5a}{b} - 9b = \frac{5a}{b}\).
Теперь подставим значения \(a = 9\) и \(b = 36\): \(\frac{5a}{b} = \frac{5 \cdot 9}{36} = \frac{45}{36}\).
Сократим дробь: \(\frac{45}{36} = \frac{9 \cdot 5}{9 \cdot 4} = \frac{5}{4}\).
Ответ: \(\frac{5}{4}\) или \(1.25\).
Задача 10. Найдите значение выражения \(\frac{a+6x}{a} : \frac{ax+6x^2}{a^2}\) при \(a = -64, x = -64\).
Сначала упростим выражение. Деление на дробь равно умножению на обратную дробь: \(\frac{a+6x}{a} : \frac{ax+6x^2}{a^2} = \frac{a+6x}{a} \cdot \frac{a^2}{ax+6x^2}\).
Вынесем общий множитель \(x\) из знаменателя второй дроби: \(ax+6x^2 = x(a+6x)\).
Теперь подставим это в выражение: \(\frac{a+6x}{a} \cdot \frac{a^2}{x(a+6x)}\).
Сократим \((a+6x)\) (при условии, что \(a+6x \ne 0\)) и \(a\): \(\frac{1}{1} \cdot \frac{a}{x} = \frac{a}{x}\).
Теперь подставим значения \(a = -64\) и \(x = -64\): \(\frac{a}{x} = \frac{-64}{-64} = 1\).
Проверим условие \(a+6x \ne 0\): \(-64 + 6 \cdot (-64) = -64 - 384 = -448 \ne 0\). Условие выполняется.
Ответ: \(1\).