Решение уравнения: x+6/√(x-2) = 2√(3x+2)

На изображении представлены несколько математических выражений, которые, вероятно, нужно упростить или решить. Я постараюсь разобрать каждое из них.

Первое выражение

Выражение выглядит как: \[ \frac{x+6}{\sqrt{x-2}} = 2\sqrt{3x+2} \] Это уравнение с корнями. Для его решения нужно возвести обе части в квадрат. Прежде чем это делать, необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ). 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2 \) \( 3x+2 \ge 0 \Rightarrow 3x \ge -2 \Rightarrow x \ge -\frac{2}{3} \) 2. Знаменатель не может быть равен нулю: \( \sqrt{x-2} \ne 0 \Rightarrow x-2 \ne 0 \Rightarrow x \ne 2 \) Таким образом, ОДЗ: \( x > 2 \). Теперь возведем обе части уравнения в квадрат: \[ \left( \frac{x+6}{\sqrt{x-2}} \right)^2 = \left( 2\sqrt{3x+2} \right)^2 \] \[ \frac{(x+6)^2}{x-2} = 4(3x+2) \] \[ \frac{x^2 + 12x + 36}{x-2} = 12x+8 \] Умножим обе части на \( (x-2) \), учитывая, что \( x \ne 2 \): \[ x^2 + 12x + 36 = (12x+8)(x-2) \] \[ x^2 + 12x + 36 = 12x^2 - 24x + 8x - 16 \] \[ x^2 + 12x + 36 = 12x^2 - 16x - 16 \] Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \[ 0 = 12x^2 - x^2 - 16x - 12x - 16 - 36 \] \[ 0 = 11x^2 - 28x - 52 \] Теперь решим это квадратное уравнение, используя формулу для корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \): Здесь \( a=11 \), \( b=-28 \), \( c=-52 \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4 \cdot 11 \cdot (-52) \) \( D = 784 + 2288 \) \( D = 3072 \) Теперь найдем корни: \( x = \frac{28 \pm \sqrt{3072}}{2 \cdot 11} \) \( x = \frac{28 \pm \sqrt{256 \cdot 12}}{22} \) \( x = \frac{28 \pm 16\sqrt{12}}{22} \) \( x = \frac{28 \pm 16 \cdot 2\sqrt{3}}{22} \) \( x = \frac{28 \pm 32\sqrt{3}}{22} \) Сократим дробь на 2: \( x = \frac{14 \pm 16\sqrt{3}}{11} \) Теперь нужно проверить, какие из этих корней удовлетворяют ОДЗ \( x > 2 \). Приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \). \( x_1 = \frac{14 + 16\sqrt{3}}{11} \approx \frac{14 + 16 \cdot 1.732}{11} = \frac{14 + 27.712}{11} = \frac{41.712}{11} \approx 3.79 \) Этот корень \( x_1 \approx 3.79 \) удовлетворяет условию \( x > 2 \). \( x_2 = \frac{14 - 16\sqrt{3}}{11} \approx \frac{14 - 16 \cdot 1.732}{11} = \frac{14 - 27.712}{11} = \frac{-13.712}{11} \approx -1.25 \) Этот корень \( x_2 \approx -1.25 \) не удовлетворяет условию \( x > 2 \). Таким образом, единственное решение уравнения: \[ x = \frac{14 + 16\sqrt{3}}{11} \]

Второе выражение

Выражение выглядит как: \[ \sqrt{7+\sqrt{x+3}} = 3 \] Это уравнение с корнями. Определим ОДЗ: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x+3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3 \) \( 7+\sqrt{x+3} \ge 0 \) (это всегда верно, так как \( \sqrt{x+3} \ge 0 \), значит \( 7+\sqrt{x+3} \ge 7 \)) Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ \left( \sqrt{7+\sqrt{x+3}} \right)^2 = 3^2 \] \[ 7+\sqrt{x+3} = 9 \] Перенесем 7 в правую часть: \[ \sqrt{x+3} = 9 - 7 \] \[ \sqrt{x+3} = 2 \] Снова возведем обе части в квадрат: \[ (\sqrt{x+3})^2 = 2^2 \] \[ x+3 = 4 \] Перенесем 3 в правую часть: \[ x = 4 - 3 \] \[ x = 1 \] Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ \( x \ge -3 \). \( 1 \ge -3 \), условие выполняется. Таким образом, решение уравнения: \[ x = 1 \]

Третье выражение

Выражение выглядит как: \[ \sqrt{x-\sqrt{x^2-5}} = 1 \] Это уравнение с корнями. Определим ОДЗ: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( x^2-5 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 5 \Rightarrow x \le -\sqrt{5} \) или \( x \ge \sqrt{5} \) \( x-\sqrt{x^2-5} \ge 0 \Rightarrow x \ge \sqrt{x^2-5} \) Так как правая часть \( \sqrt{x^2-5} \) всегда неотрицательна, то \( x \) должен быть неотрицательным. Следовательно, из \( x \le -\sqrt{5} \) или \( x \ge \sqrt{5} \) и \( x \ge 0 \), получаем \( x \ge \sqrt{5} \). Теперь возведем \( x \ge \sqrt{x^2-5} \) в квадрат (обе части неотрицательны при \( x \ge \sqrt{5} \)): \( x^2 \ge x^2-5 \) \( 0 \ge -5 \) Это неравенство всегда верно. Таким образом, ОДЗ: \( x \ge \sqrt{5} \). Возведем обе части уравнения в квадрат: \[ \left( \sqrt{x-\sqrt{x^2-5}} \right)^2 = 1^2 \] \[ x-\sqrt{x^2-5} = 1 \] Изолируем корень: \[ x-1 = \sqrt{x^2-5} \] Теперь нужно возвести обе части в квадрат. Но перед этим необходимо убедиться, что левая часть \( x-1 \) неотрицательна, так как она равна корню. \( x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \) Это условие согласуется с ОДЗ \( x \ge \sqrt{5} \) (так как \( \sqrt{5} \approx 2.236 \), то \( x \ge 2.236 \), что больше 1). Возведем обе части в квадрат: \[ (x-1)^2 = (\sqrt{x^2-5})^2 \] \[ x^2 - 2x + 1 = x^2 - 5 \] Перенесем все члены с \( x \) в одну сторону, а константы в другую: \[ -2x = -5 - 1 \] \[ -2x = -6 \] \[ x = \frac{-6}{-2} \] \[ x = 3 \] Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ \( x \ge \sqrt{5} \). \( 3 \ge \sqrt{5} \) (так как \( 3^2 = 9 \) и \( (\sqrt{5})^2 = 5 \), то \( 9 \ge 5 \), что верно). Таким образом, решение уравнения: \[ x = 3 \]

Четвертое выражение

Выражение выглядит как: \[ \sqrt{x-5} - 30 - \sqrt{x-4} \] Это выражение не является уравнением или неравенством, это просто алгебраическое выражение. Возможно, его нужно упростить или найти его значение при определенных условиях, но без дополнительной информации это невозможно. Если это часть более сложного выражения, то нужно уточнить задачу. Предположим, что это выражение нужно упростить или найти его ОДЗ. ОДЗ: 1. \( x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge 5 \) 2. \( x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4 \) Общая ОДЗ: \( x \ge 5 \). Само выражение: \( \sqrt{x-5} - 30 - \sqrt{x-4} \). Без дополнительной информации (например, равно ли оно чему-то, или нужно найти его максимум/минимум) упростить его дальше нельзя.

Пятое выражение

Выражение выглядит как: \[ \sqrt{24-10x} < 3-4x \] Это неравенство с корнем. Определим ОДЗ: 1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 24-10x \ge 0 \) \( -10x \ge -24 \) \( 10x \le 24 \) (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется) \( x \le \frac{24}{10} \) \( x \le 2.4 \) Теперь рассмотрим само неравенство \( \sqrt{24-10x} < 3-4x \). Для того чтобы возвести обе части неравенства в квадрат, необходимо, чтобы обе части были неотрицательными. Левая часть \( \sqrt{24-10x} \) всегда неотрицательна по определению корня. Правая часть \( 3-4x \) должна быть строго положительной, так как корень не может быть меньше отрицательного числа. 2. \( 3-4x > 0 \) \( -4x > -3 \) \( 4x < 3 \) \( x < \frac{3}{4} \) \( x < 0.75 \) Итак, мы имеем два условия: \( x \le 2.4 \) и \( x < 0.75 \). Объединяя их, получаем ОДЗ для решения неравенства: \( x < 0.75 \). Теперь, при условии \( x < 0.75 \), обе части неравенства неотрицательны (левая) или положительны (правая), поэтому можно возвести обе части в квадрат: \[ (\sqrt{24-10x})^2 < (3-4x)^2 \] \[ 24-10x < 9 - 24x + 16x^2 \] Перенесем все члены в правую сторону, чтобы получить квадратное неравенство: \[ 0 < 16x^2 - 24x + 9 + 10x - 24 \] \[ 0 < 16x^2 - 14x - 15 \] Или, что то же самое: \[ 16x^2 - 14x - 15 > 0 \] Найдем корни квадратного уравнения \( 16x^2 - 14x - 15 = 0 \). Используем формулу для корней квадратного уравнения: \( D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-15) \) \( D = 196 + 960 \) \( D = 1156 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34 \) Корни: \( x_1 = \frac{-(-14) + 34}{2 \cdot 16} = \frac{14 + 34}{32} = \frac{48}{32} = \frac{3}{2} = 1.5 \) \( x_2 = \frac{-(-14) - 34}{2 \cdot 16} = \frac{14 - 34}{32} = \frac{-20}{32} = -\frac{5}{8} = -0.625 \) Так как парабола \( y = 16x^2 - 14x - 15 \) имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при \( x^2 \) положительный), то неравенство \( 16x^2 - 14x - 15 > 0 \) выполняется при \( x < x_2 \) или \( x > x_1 \). То есть, \( x < -\frac{5}{8} \) или \( x > \frac{3}{2} \). Теперь нужно учесть ОДЗ, которое мы нашли: \( x < 0.75 \). 1. \( x < -\frac{5}{8} \) (что равно \( x < -0.625 \)). Это условие удовлетворяет \( x < 0.75 \). 2. \( x > \frac{3}{2} \) (что равно \( x > 1.5 \)). Это условие не удовлетворяет \( x < 0.75 \). Таким образом, решением неравенства является: \[ x < -\frac{5}{8} \] Надеюсь, это подробное решение поможет вам переписать его в тетрадь.