Задача 3
Условие: Найдите длину волны монохроматического света, если при нормальном падении на дифракционную решетку разность хода волн, образующих максимум третьего порядка, равна 1,35 мкм.
Дано:
- Разность хода волн \(\Delta L = 1,35\) мкм
- Порядок максимума \(k = 3\)
Найти:
- Длина волны \(\lambda\)
Решение:
Для дифракционной решетки условие образования максимума света выражается формулой:
\[\Delta L = k \cdot \lambda\]где \(\Delta L\) — разность хода волн, \(k\) — порядок максимума, \(\lambda\) — длина волны.
Из этой формулы выразим длину волны \(\lambda\):
\[\lambda = \frac{\Delta L}{k}\]Подставим известные значения:
\(\Delta L = 1,35\) мкм \( = 1,35 \cdot 10^{-6}\) м
\(k = 3\)
\[\lambda = \frac{1,35 \cdot 10^{-6} \text{ м}}{3}\] \[\lambda = 0,45 \cdot 10^{-6} \text{ м}\] \[\lambda = 450 \cdot 10^{-9} \text{ м}\] \[\lambda = 450 \text{ нм}\]Ответ: Длина волны монохроматического света равна 450 нм.
Задача 4
Условие: Для определения периода дифракционной решетки на нее направили световые лучи с длиной волны 760 нм. Каков период решетки, если на экране, отстоящем от решетки на 1 м, расстояние между максимумами первого порядка равно 15,2 см?
Дано:
- Длина волны \(\lambda = 760\) нм
- Расстояние от решетки до экрана \(L = 1\) м
- Расстояние между максимумами первого порядка \(\Delta x = 15,2\) см
Найти:
- Период решетки \(d\)
Решение:
Условие образования максимума для дифракционной решетки при малых углах дифракции (что обычно справедливо, если расстояние до экрана значительно больше расстояния между максимумами) выражается формулой:
\[d \sin \varphi = k \lambda\]где \(d\) — период решетки, \(\varphi\) — угол дифракции, \(k\) — порядок максимума, \(\lambda\) — длина волны.
Для малых углов \(\sin \varphi \approx \tan \varphi\). Угол \(\varphi\) можно найти из геометрии: \(\tan \varphi = \frac{x}{L}\), где \(x\) — расстояние от центрального максимума до максимума \(k\)-го порядка.
Тогда формула примет вид:
\[d \frac{x}{L} = k \lambda\]В задаче дано расстояние между максимумами первого порядка. Это означает, что расстояние от центрального максимума до первого максимума равно \(x_1\), а расстояние от центрального максимума до первого максимума с другой стороны также равно \(x_1\). Тогда расстояние между максимумами первого порядка \(\Delta x = 2x_1\).
Следовательно, расстояние от центрального максимума до первого максимума равно \(x_1 = \frac{\Delta x}{2}\).
Для первого порядка (\(k=1\)) имеем:
\[d \frac{x_1}{L} = 1 \cdot \lambda\] \[d \frac{\Delta x / 2}{L} = \lambda\] \[d \frac{\Delta x}{2L} = \lambda\]Выразим период решетки \(d\):
\[d = \frac{2L\lambda}{\Delta x}\]Переведем все величины в систему СИ:
\(\lambda = 760\) нм \( = 760 \cdot 10^{-9}\) м
\(L = 1\) м
\(\Delta x = 15,2\) см \( = 0,152\) м
Подставим значения в формулу:
\[d = \frac{2 \cdot 1 \text{ м} \cdot 760 \cdot 10^{-9} \text{ м}}{0,152 \text{ м}}\] \[d = \frac{1520 \cdot 10^{-9} \text{ м}^2}{0,152 \text{ м}}\] \[d = 10000 \cdot 10^{-9} \text{ м}\] \[d = 10 \cdot 10^{-6} \text{ м}\] \[d = 10 \text{ мкм}\]Ответ: Период дифракционной решетки равен 10 мкм.