Решение задач по теме "Средние значения"

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Практическая работа по теме «Средние значения» I вариант 1. Запишите определения: Что такое среднее арифметическое? Среднее арифметическое нескольких чисел – это сумма этих чисел, делённая на их количество. Что такое медиана? Медиана упорядоченного ряда чисел – это число, которое находится посередине ряда. Если количество чисел в ряду нечётное, то медиана – это среднее число. Если количество чисел в ряду чётное, то медиана – это среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине. 2. Найдите среднее арифметическое ряда чисел: 24,3; 11,2; 13,3; 21; 11,2. Решение: Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и разделить на их количество. Количество чисел в ряду: 5. Сумма чисел: \(24,3 + 11,2 + 13,3 + 21 + 11,2 = 81\) Среднее арифметическое: \[\frac{81}{5} = 16,2\] Ответ: 16,2. 3. Найдите медиану ряда чисел: \(\frac{1}{2}\); \(\frac{4}{15}\); \(\frac{5}{6}\); \(\frac{9}{10}\); \(\frac{3}{5}\); \(\frac{1}{2}\). Решение: Сначала приведём все дроби к общему знаменателю, чтобы их можно было упорядочить. Общий знаменатель для 2, 15, 6, 10, 5 – это 30. \(\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{15}{30}\) \(\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}\) \(\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{25}{30}\) \(\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{27}{30}\) \(\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{18}{30}\) \(\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 15}{2 \cdot 15} = \frac{15}{30}\) Упорядочим ряд по возрастанию: \(\frac{8}{30}\); \(\frac{15}{30}\); \(\frac{15}{30}\); \(\frac{18}{30}\); \(\frac{25}{30}\); \(\frac{27}{30}\) Или в исходном виде: \(\frac{4}{15}\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{1}{2}\); \(\frac{3}{5}\); \(\frac{5}{6}\); \(\frac{9}{10}\) Количество чисел в ряду – 6 (чётное число). Медиана будет средним арифметическим двух центральных чисел. Центральные числа: \(\frac{15}{30}\) и \(\frac{18}{30}\) (или \(\frac{1}{2}\) и \(\frac{3}{5}\)). Медиана: \[\frac{\frac{15}{30} + \frac{18}{30}}{2} = \frac{\frac{33}{30}}{2} = \frac{33}{30 \cdot 2} = \frac{33}{60} = \frac{11}{20}\] Ответ: \(\frac{11}{20}\). 4. На диаграмме представлены результаты некоторых ребят, писавших тест по биологии. По вертикальной оси указаны баллы. Назовите средний балл ребят, набравших больше 75 баллов. Решение: Посмотрим на диаграмму и определим баллы каждого ученика: Оля: 88 баллов Паша: 76 баллов Гоша: 72 балла Вера: 96 баллов Полина: 66 баллов Ребята, набравшие больше 75 баллов: Оля (88 баллов) Паша (76 баллов) Вера (96 баллов) Найдем средний балл этих ребят: \[\frac{88 + 76 + 96}{3} = \frac{260}{3} \approx 86,67\] Ответ: Средний балл ребят, набравших больше 75 баллов, примерно 86,67. 5. Среднее арифметическое ряда, состоящее из 9 чисел, равно 13. К этому ряду приписали число 43. Найдите среднее арифметическое получившегося ряда. Решение: Пусть сумма 9 чисел равна \(S_9\). Среднее арифметическое 9 чисел равно 13. Значит, \[\frac{S_9}{9} = 13\] Отсюда, \(S_9 = 13 \cdot 9 = 117\). К ряду приписали число 43. Теперь в ряду стало \(9 + 1 = 10\) чисел. Новая сумма чисел \(S_{10} = S_9 + 43 = 117 + 43 = 160\). Новое среднее арифметическое: \[\frac{S_{10}}{10} = \frac{160}{10} = 16\] Ответ: 16. 6. В школе два седьмых класса. В первом классе 30 учеников, и их средний рост равен 158 см. Во втором – 20 учеников, их средний рост равен 153 см. Найдите средний рост всех семиклассников школы. Решение: Первый класс: Количество учеников: \(N_1 = 30\) Средний рост: \(R_1 = 158\) см Суммарный рост учеников первого класса: \(S_1 = N_1 \cdot R_1 = 30 \cdot 158 = 4740\) см. Второй класс: Количество учеников: \(N_2 = 20\) Средний рост: \(R_2 = 153\) см Суммарный рост учеников второго класса: \(S_2 = N_2 \cdot R_2 = 20 \cdot 153 = 3060\) см. Все семиклассники школы: Общее количество учеников: \(N_{общ} = N_1 + N_2 = 30 + 20 = 50\) учеников. Общий суммарный рост всех семиклассников: \(S_{общ} = S_1 + S_2 = 4740 + 3060 = 7800\) см. Средний рост всех семиклассников: \[R_{общ} = \frac{S_{общ}}{N_{общ}} = \frac{7800}{50} = 156\] см. Ответ: 156 см.