№1
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} \kappa + 6 > 2 \\ 0,25\kappa < 2 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ \kappa + 6 > 2 \] \[ \kappa > 2 - 6 \] \[ \kappa > -4 \] Решим второе неравенство: \[ 0,25\kappa < 2 \] \[ \kappa < \frac{2}{0,25} \] \[ \kappa < 8 \] Объединяем решения: \(-4 < \kappa < 8\). Ответ: \((-4; 8)\)№2
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 5\kappa > 3\kappa - 3 \\ 5\kappa > 7\kappa - 10 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 5\kappa > 3\kappa - 3 \] \[ 5\kappa - 3\kappa > -3 \] \[ 2\kappa > -3 \] \[ \kappa > -\frac{3}{2} \] \[ \kappa > -1,5 \] Решим второе неравенство: \[ 5\kappa > 7\kappa - 10 \] \[ 5\kappa - 7\kappa > -10 \] \[ -2\kappa > -10 \] Разделим на -2, меняя знак неравенства: \[ \kappa < \frac{-10}{-2} \] \[ \kappa < 5 \] Объединяем решения: \(-1,5 < \kappa < 5\). Ответ: \((-1,5; 5)\)№3
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} -3\kappa + 1 < 3(6\kappa - 1) - \kappa \\ -4 > -8(2 - \kappa) - 2\kappa \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ -3\kappa + 1 < 3(6\kappa - 1) - \kappa \] \[ -3\kappa + 1 < 18\kappa - 3 - \kappa \] \[ -3\kappa + 1 < 17\kappa - 3 \] \[ 1 + 3 < 17\kappa + 3\kappa \] \[ 4 < 20\kappa \] \[ \frac{4}{20} < \kappa \] \[ 0,2 < \kappa \] Решим второе неравенство: \[ -4 > -8(2 - \kappa) - 2\kappa \] \[ -4 > -16 + 8\kappa - 2\kappa \] \[ -4 > -16 + 6\kappa \] \[ -4 + 16 > 6\kappa \] \[ 12 > 6\kappa \] \[ \frac{12}{6} > \kappa \] \[ 2 > \kappa \] \[ \kappa < 2 \] Объединяем решения: \(0,2 < \kappa < 2\). Ответ: \((0,2; 2)\)№4
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 2\kappa - 6 < 8 \\ -4\kappa + 10 < 0 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 2\kappa - 6 < 8 \] \[ 2\kappa < 8 + 6 \] \[ 2\kappa < 14 \] \[ \kappa < \frac{14}{2} \] \[ \kappa < 7 \] Решим второе неравенство: \[ -4\kappa + 10 < 0 \] \[ -4\kappa < -10 \] Разделим на -4, меняя знак неравенства: \[ \kappa > \frac{-10}{-4} \] \[ \kappa > 2,5 \] Объединяем решения: \(2,5 < \kappa < 7\). Ответ: \((2,5; 7)\)№5
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 3 + 4\kappa > -7 + 6\kappa \\ 3(8 + \kappa) > 4(-\kappa + 8) \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 3 + 4\kappa > -7 + 6\kappa \] \[ 3 + 7 > 6\kappa - 4\kappa \] \[ 10 > 2\kappa \] \[ \frac{10}{2} > \kappa \] \[ 5 > \kappa \] \[ \kappa < 5 \] Решим второе неравенство: \[ 3(8 + \kappa) > 4(-\kappa + 8) \] \[ 24 + 3\kappa > -4\kappa + 32 \] \[ 3\kappa + 4\kappa > 32 - 24 \] \[ 7\kappa > 8 \] \[ \kappa > \frac{8}{7} \] \[ \kappa > 1\frac{1}{7} \] Объединяем решения: \(1\frac{1}{7} < \kappa < 5\). Ответ: \(\left(1\frac{1}{7}; 5\right)\)№6
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 3(2\kappa - 1) - 8 < 25 - 3(5\kappa - 9) \\ 5 - (\kappa - 2)^2 < -3 - (\kappa - 6)^2 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 3(2\kappa - 1) - 8 < 25 - 3(5\kappa - 9) \] \[ 6\kappa - 3 - 8 < 25 - 15\kappa + 27 \] \[ 6\kappa - 11 < 52 - 15\kappa \] \[ 6\kappa + 15\kappa < 52 + 11 \] \[ 21\kappa < 63 \] \[ \kappa < \frac{63}{21} \] \[ \kappa < 3 \] Решим второе неравенство: \[ 5 - (\kappa - 2)^2 < -3 - (\kappa - 6)^2 \] Раскроем квадраты разности: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) \[ 5 - (\kappa^2 - 4\kappa + 4) < -3 - (\kappa^2 - 12\kappa + 36) \] \[ 5 - \kappa^2 + 4\kappa - 4 < -3 - \kappa^2 + 12\kappa - 36 \] \[ 1 + 4\kappa - \kappa^2 < -39 + 12\kappa - \kappa^2 \] Добавим \(\kappa^2\) к обеим частям: \[ 1 + 4\kappa < -39 + 12\kappa \] \[ 1 + 39 < 12\kappa - 4\kappa \] \[ 40 < 8\kappa \] \[ \frac{40}{8} < \kappa \] \[ 5 < \kappa \] \[ \kappa > 5 \] Объединяем решения: \(\kappa < 3\) и \(\kappa > 5\). Эти условия не могут выполняться одновременно, так как нет чисел, которые были бы одновременно меньше 3 и больше 5. Ответ: Нет решений (или пустое множество \(\emptyset\)).№7
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 6(2\kappa - 3) - 5(4\kappa - 9) > 30 \\ 7(\kappa + 2) + 5(\kappa - 1) > 0 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 6(2\kappa - 3) - 5(4\kappa - 9) > 30 \] \[ 12\kappa - 18 - 20\kappa + 45 > 30 \] \[ -8\kappa + 27 > 30 \] \[ -8\kappa > 30 - 27 \] \[ -8\kappa > 3 \] Разделим на -8, меняя знак неравенства: \[ \kappa < -\frac{3}{8} \] Решим второе неравенство: \[ 7(\kappa + 2) + 5(\kappa - 1) > 0 \] \[ 7\kappa + 14 + 5\kappa - 5 > 0 \] \[ 12\kappa + 9 > 0 \] \[ 12\kappa > -9 \] \[ \kappa > -\frac{9}{12} \] \[ \kappa > -\frac{3}{4} \] \[ \kappa > -0,75 \] Объединяем решения: \(\kappa < -\frac{3}{8}\) и \(\kappa > -\frac{3}{4}\). Переведем дроби в десятичные для удобства сравнения: \(-\frac{3}{8} = -0,375\), \(-\frac{3}{4} = -0,75\). Значит, \(\kappa < -0,375\) и \(\kappa > -0,75\). Объединяем решения: \(-0,75 < \kappa < -0,375\). Ответ: \(\left(-\frac{3}{4}; -\frac{3}{8}\right)\)№8
Дана система неравенств: \[ \begin{cases} 18 - 2\kappa < 14 + 6\kappa \\ 3\kappa - 2 > 1,5\kappa + 1 \end{cases} \] Решим первое неравенство: \[ 18 - 2\kappa < 14 + 6\kappa \] \[ 18 - 14 < 6\kappa + 2\kappa \] \[ 4 < 8\kappa \] \[ \frac{4}{8} < \kappa \] \[ 0,5 < \kappa \] \[ \kappa > 0,5 \] Решим второе неравенство: \[ 3\kappa - 2 > 1,5\kappa + 1 \] \[ 3\kappa - 1,5\kappa > 1 + 2 \] \[ 1,5\kappa > 3 \] \[ \kappa > \frac{3}{1,5} \] \[ \kappa > 2 \] Объединяем решения: \(\kappa > 0,5\) и \(\kappa > 2\). Чтобы оба условия выполнялись, \(\kappa\) должно быть больше наибольшего из этих чисел. Значит, \(\kappa > 2\). Ответ: \((2; +\infty)\)