ПОДГОТОВКА К ОГЭ. СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ.
№1
\[ \begin{cases} k + 6 > 2 \\ 0,25k < 2 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ k + 6 > 2 \]Вычтем 6 из обеих частей неравенства:
\[ k > 2 - 6 \] \[ k > -4 \]Второе неравенство:
\[ 0,25k < 2 \]Разделим обе части неравенства на 0,25 (или умножим на 4). Так как 0,25 - положительное число, знак неравенства не меняется:
\[ k < \frac{2}{0,25} \] \[ k < 8 \]Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k > -4 \\ k < 8 \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть больше -4 и одновременно меньше 8. Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ -4 < k < 8 \]В интервальной записи это будет \((-4; 8)\).
Ответ: \((-4; 8)\)
№2
\[ \begin{cases} 5k > 3k - 3 \\ 5k > 7k - 10 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 5k > 3k - 3 \]Перенесем \(3k\) в левую часть:
\[ 5k - 3k > -3 \] \[ 2k > -3 \]Разделим обе части на 2:
\[ k > -\frac{3}{2} \] \[ k > -1,5 \]Второе неравенство:
\[ 5k > 7k - 10 \]Перенесем \(7k\) в левую часть:
\[ 5k - 7k > -10 \] \[ -2k > -10 \]Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ k < \frac{-10}{-2} \] \[ k < 5 \]Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k > -1,5 \\ k < 5 \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть больше -1,5 и одновременно меньше 5. Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ -1,5 < k < 5 \]В интервальной записи это будет \((-1,5; 5)\).
Ответ: \((-1,5; 5)\)
№3
\[ \begin{cases} -3k + 1 < 3(6k - 1) - k \\ -4 > -8(2 - k) - 2k \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ -3k + 1 < 3(6k - 1) - k \]Раскроем скобки в правой части:
\[ -3k + 1 < 18k - 3 - k \]Приведем подобные слагаемые в правой части:
\[ -3k + 1 < 17k - 3 \]Перенесем слагаемые с \(k\) в левую часть, а числа в правую:
\[ -3k - 17k < -3 - 1 \] \[ -20k < -4 \]Разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ k > \frac{-4}{-20} \] \[ k > \frac{1}{5} \] \[ k > 0,2 \]Второе неравенство:
\[ -4 > -8(2 - k) - 2k \]Раскроем скобки в правой части:
\[ -4 > -16 + 8k - 2k \]Приведем подобные слагаемые в правой части:
\[ -4 > -16 + 6k \]Перенесем число -16 в левую часть:
\[ -4 + 16 > 6k \] \[ 12 > 6k \]Разделим обе части на 6:
\[ \frac{12}{6} > k \] \[ 2 > k \]Это то же самое, что \(k < 2\).
Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k > 0,2 \\ k < 2 \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть больше 0,2 и одновременно меньше 2. Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ 0,2 < k < 2 \]В интервальной записи это будет \((0,2; 2)\).
Ответ: \((0,2; 2)\)
№4
\[ \begin{cases} 2k - 6 < 8 \\ -4k + 10 < 0 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 2k - 6 < 8 \]Прибавим 6 к обеим частям:
\[ 2k < 8 + 6 \] \[ 2k < 14 \]Разделим обе части на 2:
\[ k < \frac{14}{2} \] \[ k < 7 \]Второе неравенство:
\[ -4k + 10 < 0 \]Вычтем 10 из обеих частей:
\[ -4k < -10 \]Разделим обе части на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ k > \frac{-10}{-4} \] \[ k > \frac{5}{2} \] \[ k > 2,5 \]Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k < 7 \\ k > 2,5 \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть меньше 7 и одновременно больше 2,5. Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ 2,5 < k < 7 \]В интервальной записи это будет \((2,5; 7)\).
Ответ: \((2,5; 7)\)
№5
\[ \begin{cases} 3 + 4k > -7 + 6k \\ 3(8 + k) > 4(-k + 8) \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 3 + 4k > -7 + 6k \]Перенесем слагаемые с \(k\) в левую часть, а числа в правую:
\[ 4k - 6k > -7 - 3 \] \[ -2k > -10 \]Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ k < \frac{-10}{-2} \] \[ k < 5 \]Второе неравенство:
\[ 3(8 + k) > 4(-k + 8) \]Раскроем скобки в обеих частях:
\[ 24 + 3k > -4k + 32 \]Перенесем слагаемые с \(k\) в левую часть, а числа в правую:
\[ 3k + 4k > 32 - 24 \] \[ 7k > 8 \]Разделим обе части на 7:
\[ k > \frac{8}{7} \] \[ k > 1\frac{1}{7} \]Приблизительно \(k > 1,14\).
Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k < 5 \\ k > \frac{8}{7} \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть меньше 5 и одновременно больше \(\frac{8}{7}\). Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ \frac{8}{7} < k < 5 \]В интервальной записи это будет \(\left(\frac{8}{7}; 5\right)\).
Ответ: \(\left(\frac{8}{7}; 5\right)\)
№6
\[ \begin{cases} 3(2k - 1) - 8 < 25 - 3(5k - 9) \\ 5 - (k - 2)^2 < -3 - (k - 6)^2 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 3(2k - 1) - 8 < 25 - 3(5k - 9) \]Раскроем скобки в обеих частях:
\[ 6k - 3 - 8 < 25 - 15k + 27 \]Приведем подобные слагаемые:
\[ 6k - 11 < 52 - 15k \]Перенесем слагаемые с \(k\) в левую часть, а числа в правую:
\[ 6k + 15k < 52 + 11 \] \[ 21k < 63 \]Разделим обе части на 21:
\[ k < \frac{63}{21} \] \[ k < 3 \]Второе неравенство:
\[ 5 - (k - 2)^2 < -3 - (k - 6)^2 \]Раскроем квадраты разности по формуле \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\):
\[ 5 - (k^2 - 4k + 4) < -3 - (k^2 - 12k + 36) \]Раскроем скобки, меняя знаки внутри них:
\[ 5 - k^2 + 4k - 4 < -3 - k^2 + 12k - 36 \]Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
\[ -k^2 + 4k + 1 < -k^2 + 12k - 39 \]Перенесем все слагаемые в одну сторону. Заметим, что \(-k^2\) сократится:
\[ 4k + 1 < 12k - 39 \]Перенесем слагаемые с \(k\) в правую часть, а числа в левую (чтобы коэффициент при \(k\) был положительным):
\[ 1 + 39 < 12k - 4k \] \[ 40 < 8k \]Разделим обе части на 8:
\[ \frac{40}{8} < k \] \[ 5 < k \]Это то же самое, что \(k > 5\).
Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k < 3 \\ k > 5 \end{cases} \]Мы ищем значения \(k\), которые одновременно меньше 3 и больше 5. Таких чисел не существует. Если число меньше 3, оно не может быть больше 5. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: Нет решений (или \(\emptyset\))
№7
\[ \begin{cases} 6(2k - 3) - 5(4k - 9) > 30 \\ 7(k + 2) + 5(k - 1) > 0 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 6(2k - 3) - 5(4k - 9) > 30 \]Раскроем скобки:
\[ 12k - 18 - 20k + 45 > 30 \]Приведем подобные слагаемые:
\[ (12k - 20k) + (-18 + 45) > 30 \] \[ -8k + 27 > 30 \]Вычтем 27 из обеих частей:
\[ -8k > 30 - 27 \] \[ -8k > 3 \]Разделим обе части на -8. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
\[ k < -\frac{3}{8} \] \[ k < -0,375 \]Второе неравенство:
\[ 7(k + 2) + 5(k - 1) > 0 \]Раскроем скобки:
\[ 7k + 14 + 5k - 5 > 0 \]Приведем подобные слагаемые:
\[ (7k + 5k) + (14 - 5) > 0 \] \[ 12k + 9 > 0 \]Вычтем 9 из обеих частей:
\[ 12k > -9 \]Разделим обе части на 12:
\[ k > -\frac{9}{12} \] \[ k > -\frac{3}{4} \] \[ k > -0,75 \]Теперь объединим решения:
\[ \begin{cases} k < -\frac{3}{8} \\ k > -\frac{3}{4} \end{cases} \]Для удобства сравнения переведем дроби в десятичные или приведем к общему знаменателю. \(-\frac{3}{8} = -0,375\) \(-\frac{3}{4} = -0,75\) Итак, система выглядит как:
\[ \begin{cases} k < -0,375 \\ k > -0,75 \end{cases} \]Это означает, что \(k\) должно быть меньше -0,375 и одновременно больше -0,75. Запишем это в виде двойного неравенства:
\[ -0,75 < k < -0,375 \]В интервальной записи это будет \(\left(-\frac{3}{4}; -\frac{3}{8}\right)\).
Ответ: \(\left(-\frac{3}{4}; -\frac{3}{8}\right)\)
№8
\[ \begin{cases} 18 - 2k < 14 + 6k \\ 3k - 2 > 1,5k + 1 \end{cases} \]Решим каждое неравенство по отдельности:
Первое неравенство:
\[ 18 - 2k < 14 + 6k \]Перенесем слагаемые с \(k\) в правую часть, а числа в левую (чтобы коэффициент при \(