Задание 2. Выяснить, как связаны между собой уровни тревожности и оцененные с помощью тестов у 15 подростков. Проранжированные значения данных уровней приведены в таблице. Проверить значимость коэффициента корреляции при \(\alpha = 0,05\).
Найти коэффициент корреляции и проверить его значимость. Сделайте вывод.
Найти уравнение линейной регрессии \(y = ax+b\). Построить графики данных и уравнения регрессии.
Таблица данных:
| № испытуемого |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
| Ранги уровня тревожности (x) |
1 |
7 |
10 |
11 |
2 |
4 |
15 |
12 |
8 |
3 |
5 |
14 |
6 |
9 |
13 |
| Ранги уровня агрессивности (y) |
2 |
9 |
8 |
13 |
1 |
3 |
10 |
14 |
7 |
4 |
6 |
15 |
5 |
11 |
12 |
Решение:
1. Находим коэффициент корреляции Спирмена.
Формула для коэффициента корреляции Спирмена:
\[
\rho = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)}
\]
где \(d_i\) - разность рангов для каждого испытуемого, \(n\) - количество испытуемых.
Составим таблицу для расчета \(d_i\) и \(d_i^2\):
| № испытуемого |
x (тревожность) |
y (агрессивность) |
\(d_i = x - y\) |
\(d_i^2\) |
| 1 |
1 |
2 |
-1 |
1 |
| 2 |
7 |
9 |
-2 |
4 |
| 3 |
10 |
8 |
2 |
4 |
| 4 |
11 |
13 |
-2 |
4 |
| 5 |
2 |
1 |
1 |
1 |
| 6 |
4 |
3 |
1 |
1 |
| 7 |
15 |
10 |
5 |
25 |
| 8 |
12 |
14 |
-2 |
4 |
| 9 |
8 |
7 |
1 |
1 |
| 10 |
3 |
4 |
-1 |
1 |
| 11 |
5 |
6 |
-1 |
1 |
| 12 |
14 |
15 |
-1 |
1 |
| 13 |
6 |
5 |
1 |
1 |
| 14 |
9 |
11 |
-2 |
4 |
| 15 |
13 |
12 |
1 |
1 |
| Сумма \(\sum d_i^2\) |
54 |
Количество испытуемых \(n = 15\).
Подставляем значения в формулу:
\[
\rho = 1 - \frac{6 \times 54}{15(15^2 - 1)} = 1 - \frac{324}{15(225 - 1)} = 1 - \frac{324}{15 \times 224} = 1 - \frac{324}{3360} \approx 1 - 0.0964 = 0.9036
\]
Коэффициент корреляции Спирмена \(\rho \approx 0.9036\).
2. Проверка значимости коэффициента корреляции.
Для проверки значимости коэффициента корреляции Спирмена при \(n > 10\) можно использовать t-критерий Стьюдента.
Формула для t-критерия:
\[
t = \rho \sqrt{\frac{n - 2}{1 - \rho^2}}
\]
Подставляем значения:
\[
t = 0.9036 \sqrt{\frac{15 - 2}{1 - (0.9036)^2}} = 0.9036 \sqrt{\frac{13}{1 - 0.8165}} = 0.9036 \sqrt{\frac{13}{0.1835}} \approx 0.9036 \sqrt{70.845} \approx 0.9036 \times 8.417 \approx 7.606
\]
Число степеней свободы \(df = n - 2 = 15 - 2 = 13\).
Уровень значимости \(\alpha = 0.05\).
По таблице критических значений t-критерия Стьюдента для \(df = 13\) и \(\alpha = 0.05\) (двусторонний тест) находим критическое значение \(t_{крит} \approx 2.160\).
Сравнение: \(|t_{расч}| = 7.606 > t_{крит} = 2.160\).
Так как расчетное значение t-критерия больше критического, то коэффициент корреляции Спирмена статистически значим на уровне \(\alpha = 0.05\).
Вывод: Между уровнями тревожности и агрессивности существует сильная положительная статистически значимая корреляция. Это означает, что с увеличением уровня тревожности, как правило, увеличивается и уровень агрессивности.
3. Нахождение уравнения линейной регрессии \(y = ax+b\).
Для нахождения коэффициентов \(a\) и \(b\) используем следующие формулы:
\[
a = \frac{n \sum (x_i y_i) - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}
\]
\[
b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n} = \bar{y} - a \bar{x}
\]
Сначала найдем суммы:
| № |
\(x_i\) |
\(y_i\) |
\(x_i y_i\) |
\(x_i^2\) |
\(y_i^2\) |
| 1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
4 |
| 2 |
7 |
9 |
63 |
49 |
81 |
| 3 |
10 |
8 |
80 |
100 |
64 |
| 4 |
11 |
13 |
143 |
121 |
169 |
| 5 |
2 |
1 |
2 |
4 |
1 |
| 6 |
4 |
3 |
12 |
16 |
9 |
| 7 |
15 |
10 |
150 |
225 |
100 |
| 8 |
12 |
14 |
168 |
144 |
196 |
| 9 |
8 |
7 |
56 |
64 |
49 |
| 10 |
3 |
4 |
12 |
9 |
16 |
| 11 |
5 |
6 |
30 |
25 |
36 |
| 12 |
14 |
15 |
210 |
196 |
225 |
| 13 |
6 |
5 |
30 |
36 |
25 |
| 14 |
9 |
11 |
99 |
81 |
121 |
| 15 |
13 |
12 |
156 |
169 |
144 |
| Сумма |
128 |
128 |
1273 |
1235 |
1240 |
\(\sum x_i = 128\)
\(\sum y_i = 128\)
\(\sum (x_i y_i) = 1273\)
\(\sum x_i^2 = 1235\)
\(n = 15\)
Вычисляем \(a\):
\[
a = \frac{15 \times 1273 - 128 \times 128}{15 \times 1235 - (128)^2} = \frac{19095 - 16384}{18525 - 16384} = \frac{2711}{2141} \approx 1.266
\]
Вычисляем \(b\):
Средние значения:
\(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{128}{15} \approx 8.533\)
\(\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{128}{15} \approx 8.533\)
\[
b = \bar{y} - a \bar{x} = 8.533 - 1.266 \times 8.533 \approx 8.533 - 10.801 \approx -2.268
\]
Уравнение линейной регрессии:
\[
y = 1.266x - 2.268
\]
4. Построение графиков данных и уравнения регрессии.
Для построения графика необходимо отметить точки \((x_i, y_i)\) на координатной плоскости. Затем построить прямую, соответствующую уравнению регрессии \(y = 1.266x - 2.268\). Для этого можно взять две точки, например:
При \(x = 1\), \(y = 1.266 \times 1 - 2.268 = 1.266 - 2.268 = -1.002\)
При \(x = 15\), \(y = 1.266 \times 15 - 2.268 = 18.99 - 2.268 = 16.722\)
Таким образом, прямая регрессии проходит через точки \((1, -1.002)\) и \((15, 16.722)\).
(В тетради школьнику нужно будет начертить координатную плоскость, отметить на ней 15 точек, соответствующих данным из таблицы, а затем провести прямую линию, используя две найденные точки для уравнения регрессии.)
Примерный вид графика:
(Представьте себе график, где по оси X отложены ранги тревожности, по оси Y - ранги агрессивности. Точки данных будут расположены вокруг восходящей прямой линии, которая представляет собой уравнение регрессии.)
Здесь должен быть график. На оси X - Ранги тревожности, на оси Y - Ранги агрессивности. Отмечены 15 точек данных и проведена прямая линия регрессии y = 1.266x - 2.268.
На графике будет видно, что большинство точек данных расположены близко к построенной линии регрессии, что подтверждает наличие сильной линейной зависимости между рангами тревожности и агрессивности.
Итоговый вывод:
Проведенный анализ показал, что между уровнями тревожности и агрессивности у 15 подростков существует сильная положительная статистически значимая корреляция (\(\rho \approx 0.9036\)). Это означает, что чем выше уровень тревожности у подростка, тем выше, как правило, и уровень его агрессивности. Уравнение линейной регрессии \(y = 1.266x - 2.268\) позволяет предсказывать ранг уровня агрессивности на основе ранга уровня тревожности.
