Дано:
Радиус внешней окружности \(R = 1.3 \cdot r\)
Радиус внутренней окружности \(r = 0.4\) м
Скорость центра A \(V_A = 3\) м/с
Ускорение центра A \(a_A = 2\) м/с\(^2\)
Найти:
Скорость точки M \(V_M\)
Ускорение точки M \(a_M\)
Решение:
1. Определим радиус внешней окружности R:
\[R = 1.3 \cdot r = 1.3 \cdot 0.4 \text{ м} = 0.52 \text{ м}\]
2. Определим угловую скорость вращения колеса \(\omega\):
Поскольку колесо катится без проскальзывания, скорость точки касания с поверхностью равна нулю. Это означает, что скорость центра колеса \(V_A\) связана с угловой скоростью \(\omega\) и радиусом \(R\) соотношением:
\[V_A = \omega \cdot R\]
Отсюда угловая скорость:
\[\omega = \frac{V_A}{R} = \frac{3 \text{ м/с}}{0.52 \text{ м}} \approx 5.769 \text{ рад/с}\]
3. Определим угловое ускорение колеса \(\epsilon\):
Аналогично, ускорение центра колеса \(a_A\) связано с угловым ускорением \(\epsilon\) и радиусом \(R\):
\[a_A = \epsilon \cdot R\]
Отсюда угловое ускорение:
\[\epsilon = \frac{a_A}{R} = \frac{2 \text{ м/с}^2}{0.52 \text{ м}} \approx 3.846 \text{ рад/с}^2\]
4. Определим скорость точки M \(V_M\):
Точка M находится на внутренней окружности на расстоянии \(r\) от центра A. Вектор скорости точки M можно представить как сумму скорости центра A и скорости точки M относительно центра A:
\[\vec{V}_M = \vec{V}_A + \vec{V}_{M/A}\]
Скорость точки M относительно центра A \(\vec{V}_{M/A}\) направлена перпендикулярно радиусу AM и равна \(\omega \cdot r\). Из рисунка видно, что точка M находится слева от центра A, и колесо движется вправо. Следовательно, скорость \(\vec{V}_{M/A}\) направлена вниз.
Однако, если точка M находится на горизонтальной оси, как показано на рисунке, и колесо катится вправо, то скорость точки M относительно центра A будет направлена вниз (если смотреть на вращение по часовой стрелке) или вверх (если против часовой стрелки). В данном случае, судя по направлению \(V_A\) и \(a_A\), колесо движется вправо и вращается по часовой стрелке.
Поскольку точка M находится на горизонтальной оси, её скорость относительно центра A будет направлена вертикально вниз (если вращение по часовой стрелке). Скорость центра A направлена горизонтально вправо.
Таким образом, скорость точки M имеет две составляющие: горизонтальную \(V_A\) и вертикальную \(V_{M/A}\).
\[V_{M/A} = \omega \cdot r = 5.769 \text{ рад/с} \cdot 0.4 \text{ м} \approx 2.308 \text{ м/с}\]
Модуль скорости точки M:
\[V_M = \sqrt{V_A^2 + V_{M/A}^2} = \sqrt{(3 \text{ м/с})^2 + (2.308 \text{ м/с})^2}\]
\[V_M = \sqrt{9 + 5.326864} = \sqrt{14.326864} \approx 3.785 \text{ м/с}\]
5. Определим ускорение точки M \(a_M\):
Ускорение точки M можно представить как сумму ускорения центра A и ускорения точки M относительно центра A:
\[\vec{a}_M = \vec{a}_A + \vec{a}_{M/A}\]
Ускорение точки M относительно центра A \(\vec{a}_{M/A}\) состоит из двух компонент: тангенциального ускорения \(a_{M/A}^t\) и нормального (центростремительного) ускорения \(a_{M/A}^n\).
Тангенциальное ускорение \(a_{M/A}^t\) направлено перпендикулярно радиусу AM и равно \(\epsilon \cdot r\). Поскольку точка M находится слева от центра A, и колесо вращается по часовой стрелке, тангенциальное ускорение будет направлено вниз.
\[a_{M/A}^t = \epsilon \cdot r = 3.846 \text{ рад/с}^2 \cdot 0.4 \text{ м} \approx 1.5384 \text{ м/с}^2\]
Нормальное (центростремительное) ускорение \(a_{M/A}^n\) направлено к центру A и равно \(\omega^2 \cdot r\). Поскольку точка M находится слева от центра A, нормальное ускорение будет направлено вправо.
\[a_{M/A}^n = \omega^2 \cdot r = (5.769 \text{ рад/с})^2 \cdot 0.4 \text{ м} \approx 33.281 \cdot 0.4 \text{ м} \approx 13.3124 \text{ м/с}^2\]
Теперь разложим ускорения по осям:
Горизонтальная составляющая ускорения точки M \(a_{Mx}\):
\[a_{Mx} = a_A + a_{M/A}^n\]
\[a_{Mx} = 2 \text{ м/с}^2 + 13.3124 \text{ м/с}^2 = 15.3124 \text{ м/с}^2\]
Вертикальная составляющая ускорения точки M \(a_{My}\):
\[a_{My} = a_{M/A}^t\]
\[a_{My} = 1.5384 \text{ м/с}^2\]
Модуль ускорения точки M:
\[a_M = \sqrt{a_{Mx}^2 + a_{My}^2} = \sqrt{(15.3124 \text{ м/с}^2)^2 + (1.5384 \text{ м/с}^2)^2}\]
\[a_M = \sqrt{234.474 + 2.3667} = \sqrt{236.8407} \approx 15.39 \text{ м/с}^2\]
Ответ:
Скорость точки M \(V_M \approx 3.79\) м/с
Ускорение точки M \(a_M \approx 15.39\) м/с\(^2\)