Вариант 2
1. Найти нули функции
1) \(y = x^2 - 12x + 11\)
Чтобы найти нули функции, нужно приравнять \(y\) к нулю:
\(x^2 - 12x + 11 = 0\)
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\)
Здесь \(a = 1\), \(b = -12\), \(c = 11\).
\(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11\)
\(D = 144 - 44\)
\(D = 100\)
Теперь найдем корни:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-12) + \sqrt{100}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{12 + 10}{2}\)
\(x_1 = \frac{22}{2}\)
\(x_1 = 11\)
\(x_2 = \frac{-(-12) - \sqrt{100}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{12 - 10}{2}\)
\(x_2 = \frac{2}{2}\)
\(x_2 = 1\)
Ответ: Нули функции: \(x_1 = 11\), \(x_2 = 1\).
2) \(y = x^2 - 25\)
Приравняем \(y\) к нулю:
\(x^2 - 25 = 0\)
Это неполное квадратное уравнение, его можно решить, перенеся число в правую часть:
\(x^2 = 25\)
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
\(x = \pm\sqrt{25}\)
\(x_1 = 5\)
\(x_2 = -5\)
Ответ: Нули функции: \(x_1 = 5\), \(x_2 = -5\).
2. Найти координаты вершины параболы
1) \(y = 2(x - 4)^2 + 5\)
Уравнение параболы в виде \(y = a(x - x_0)^2 + y_0\) сразу дает координаты вершины \((x_0; y_0)\).
В данном случае \(x_0 = 4\), \(y_0 = 5\).
Ответ: Координаты вершины параболы: \((4; 5)\).
2) \(y = -2x^2 + 4x + 10\)
Для параболы в виде \(y = ax^2 + bx + c\) координаты вершины \((x_в; y_в)\) находятся по формулам:
\(x_в = \frac{-b}{2a}\)
\(y_в = y(x_в)\) (то есть, подставить найденное значение \(x_в\) в исходное уравнение функции).
Здесь \(a = -2\), \(b = 4\), \(c = 10\).
Найдем \(x_в\):
\(x_в = \frac{-4}{2 \cdot (-2)}\)
\(x_в = \frac{-4}{-4}\)
\(x_в = 1\)
Теперь найдем \(y_в\), подставив \(x_в = 1\) в уравнение функции:
\(y_в = -2(1)^2 + 4(1) + 10\)
\(y_в = -2 \cdot 1 + 4 + 10\)
\(y_в = -2 + 4 + 10\)
\(y_в = 2 + 10\)
\(y_в = 12\)
Ответ: Координаты вершины параболы: \((1; 12)\).
3. Найти координаты точек пересечения графика функции \(y = 2x^2 + 7x - 15\) с осями координат.
Пересечение с осью \(Oy\):
Точки пересечения с осью \(Oy\) имеют координату \(x = 0\). Подставим \(x = 0\) в уравнение функции:
\(y = 2(0)^2 + 7(0) - 15\)
\(y = 0 + 0 - 15\)
\(y = -15\)
Точка пересечения с осью \(Oy\): \((0; -15)\).
Пересечение с осью \(Ox\):
Точки пересечения с осью \(Ox\) имеют координату \(y = 0\). Приравняем функцию к нулю:
\(2x^2 + 7x - 15 = 0\)
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\)
Здесь \(a = 2\), \(b = 7\), \(c = -15\).
\(D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)\)
\(D = 49 - (-120)\)
\(D = 49 + 120\)
\(D = 169\)
Теперь найдем корни:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 2}\)
\(x_1 = \frac{-7 + 13}{4}\)
\(x_1 = \frac{6}{4}\)
\(x_1 = 1.5\)
\(x_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 2}\)
\(x_2 = \frac{-7 - 13}{4}\)
\(x_2 = \frac{-20}{4}\)
\(x_2 = -5\)
Точки пересечения с осью \(Ox\): \((1.5; 0)\) и \((-5; 0)\).
Ответ: Точки пересечения с осями координат: \((0; -15)\), \((1.5; 0)\), \((-5; 0)\).
4. Назвать, какие сдвиги параболы надо осуществить \(y = -(x + 3)^2 + 4\)?
Рассмотрим базовую параболу \(y = x^2\).
1. Знак "минус" перед скобкой \( -(x + 3)^2 \) означает, что ветви параболы направлены вниз (отражение относительно оси \(Ox\)).
2. Выражение \((x + 3)^2\) можно записать как \((x - (-3))^2\). Это означает сдвиг параболы по оси \(Ox\) на 3 единицы влево.
3. Число \(+4\) в конце уравнения означает сдвиг параболы по оси \(Oy\) на 4 единицы вверх.
Ответ: Необходимо осуществить следующие сдвиги:
1. Отражение параболы относительно оси \(Ox\) (ветви направлены вниз).
2. Сдвиг параболы на 3 единицы влево по оси \(Ox\).
3. Сдвиг параболы на 4 единицы вверх по оси \(Oy\).
5. Найти координаты точек пересечения графиков функций \(y = -x^2 + 4x + 5\) и \(y = 9x - 1\).
Чтобы найти точки пересечения графиков, нужно приравнять их уравнения:
\(-x^2 + 4x + 5 = 9x - 1\)
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(-x^2 + 4x - 9x + 5 + 1 = 0\)
\(-x^2 - 5x + 6 = 0\)
Умножим все на \(-1\), чтобы старший коэффициент был положительным:
\(x^2 + 5x - 6 = 0\)
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\(D = b^2 - 4ac\)
Здесь \(a = 1\), \(b = 5\), \(c = -6\).
\(D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)\)
\(D = 25 - (-24)\)
\(D = 25 + 24\)
\(D = 49\)
Теперь найдем корни:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1}\)
\(x_1 = \frac{-5 + 7}{2}\)
\(x_1 = \frac{2}{2}\)
\(x_1 = 1\)
\(x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1}\)
\(x_2 = \frac{-5 - 7}{2}\)
\(x_2 = \frac{-12}{2}\)
\(x_2 = -6\)
Теперь найдем соответствующие значения \(y\) для каждого \(x\), используя более простое уравнение прямой \(y = 9x - 1\):
Для \(x_1 = 1\):
\(y_1 = 9(1) - 1\)
\(y_1 = 9 - 1\)
\(y_1 = 8\)
Первая точка пересечения: \((1; 8)\).
Для \(x_2 = -6\):
\(y_2 = 9(-6) - 1\)
\(y_2 = -54 - 1\)
\(y_2 = -55\)
Вторая точка пересечения: \((-6; -55)\).
Ответ: Координаты точек пересечения графиков функций: \((1; 8)\) и \((-6; -55)\).