Решение задачи: Кинематика. Динамика. Законы сохранения

Вот решения задач, оформленные так, чтобы их было удобно переписать в тетрадь школьнику. Контрольная работа по теме «Кинематика. Динамика. Законы сохранения в механике» 1. По заданному графику движения тела определить для первого участка движения: - характер движения тела; - начальную и конечную скорость, время движения, ускорение и пройденный путь. Решение: По графику видно, что первый участок движения — это прямая линия, идущая вверх. Это означает, что скорость тела равномерно увеличивается. а) Характер движения тела: Равноускоренное движение. б) Начальная и конечная скорость, время движения, ускорение и пройденный путь: Из графика: Начальная скорость \(v_0 = 10\) м/с. Конечная скорость \(v = 45\) м/с. Время движения \(t = 4\) с. Ускорение \(a\): \[a = \frac{v - v_0}{t}\] \[a = \frac{45 \text{ м/с} - 10 \text{ м/с}}{4 \text{ с}}\] \[a = \frac{35 \text{ м/с}}{4 \text{ с}}\] \[a = 8,75 \text{ м/с}^2\] Пройденный путь \(S\): Пройденный путь можно найти как площадь трапеции под графиком скорости. \[S = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t\] \[S = \frac{10 \text{ м/с} + 45 \text{ м/с}}{2} \cdot 4 \text{ с}\] \[S = \frac{55 \text{ м/с}}{2} \cdot 4 \text{ с}\] \[S = 27,5 \text{ м/с} \cdot 4 \text{ с}\] \[S = 110 \text{ м}\] Ответ: Характер движения: равноускоренное. Начальная скорость: \(10\) м/с. Конечная скорость: \(45\) м/с. Время движения: \(4\) с. Ускорение: \(8,75\) м/с\(^2\). Пройденный путь: \(110\) м. 2. Тело движется из состояния покоя с ускорением \(0,25\) м/с\(^2\). Определи, какую скорость будет иметь данное тело через \(10\) с от начала движения. Дано: Начальная скорость \(v_0 = 0\) м/с (из состояния покоя) Ускорение \(a = 0,25\) м/с\(^2\) Время \(t = 10\) с Найти: Конечная скорость \(v\) Решение: Для равноускоренного движения формула для скорости: \[v = v_0 + at\] Подставляем известные значения: \[v = 0 \text{ м/с} + (0,25 \text{ м/с}^2 \cdot 10 \text{ с})\] \[v = 2,5 \text{ м/с}\] Ответ: Тело будет иметь скорость \(2,5\) м/с. 3. С башни с интервалом \(1\) с бросают с нулевой начальной скоростью два камня. На каком расстоянии друг от друга будут находиться камни в тот момент, когда скорость второго будет равна \(30\) м/с? Дано: Начальная скорость \(v_0 = 0\) м/с Интервал времени \(\Delta t = 1\) с Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8\) м/с\(^2\) (можно округлить до \(10\) м/с\(^2\) для простоты расчетов, если не указано иное. Будем использовать \(10\) м/с\(^2\)). Скорость второго камня \(v_2 = 30\) м/с Найти: Расстояние между камнями \(\Delta h\) Решение: Сначала найдем время, через которое второй камень достигнет скорости \(30\) м/с. Для свободного падения из состояния покоя: \[v = v_0 + gt\] Так как \(v_0 = 0\), то \(v = gt\). Для второго камня: \[t_2 = \frac{v_2}{g}\] \[t_2 = \frac{30 \text{ м/с}}{10 \text{ м/с}^2} = 3 \text{ с}\] Второй камень находится в полете \(3\) с. Первый камень был брошен на \(1\) с раньше, поэтому он находится в полете: \[t_1 = t_2 + \Delta t = 3 \text{ с} + 1 \text{ с} = 4 \text{ с}\] Теперь найдем пройденные расстояния для каждого камня. Формула для пройденного пути при свободном падении из состояния покоя: \[h = v_0 t + \frac{gt^2}{2}\] Так как \(v_0 = 0\), то \(h = \frac{gt^2}{2}\). Для первого камня: \[h_1 = \frac{g t_1^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (4 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 16 \text{ с}^2}{2} = \frac{160 \text{ м}}{2} = 80 \text{ м}\] Для второго камня: \[h_2 = \frac{g t_2^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot (3 \text{ с})^2}{2} = \frac{10 \text{ м/с}^2 \cdot 9 \text{ с}^2}{2} = \frac{90 \text{ м}}{2} = 45 \text{ м}\] Расстояние между камнями \(\Delta h\) будет разностью пройденных ими путей: \[\Delta h = h_1 - h_2\] \[\Delta h = 80 \text{ м} - 45 \text{ м} = 35 \text{ м}\] Ответ: Камни будут находиться на расстоянии \(35\) м друг от друга. 4. Вагонетка движется без трения с ускорением \(0,1\) м/с\(^2\). Определи силу, сообщающую ускорение, если масса вагонетки \(180\) кг. Дано: Ускорение \(a = 0,1\) м/с\(^2\) Масса \(m = 180\) кг Найти: Сила \(F\) Решение: Используем второй закон Ньютона: \[F = ma\] Подставляем известные значения: \[F = 180 \text{ кг} \cdot 0,1 \text{ м/с}^2\] \[F = 18 \text{ Н}\] Ответ: Сила, сообщающая ускорение, равна \(18\) Н. 5. С лодки, движущейся со скоростью \(1\) м/с, выкинули груз со скоростью \(10\) м/с в направлении, противоположном движению лодки. Вычисли, какой стала скорость лодки, если масса лодки \(240\) кг, масса выпавшего груза \(80\) кг. Дано: Начальная скорость лодки \(v_{л0} = 1\) м/с Масса лодки \(m_л = 240\) кг Масса груза \(m_г = 80\) кг Скорость груза относительно земли после выбрасывания \(v_г = 10\) м/с (в противоположном направлении движению лодки) Найти: Конечная скорость лодки \(v_л\) Решение: Применим закон сохранения импульса. Пусть положительное направление совпадает с начальным направлением движения лодки. Начальный импульс системы (лодка + груз): Масса системы до выбрасывания груза: \(M = m_л + m_г = 240 \text{ кг} + 80 \text{ кг} = 320 \text{ кг}\). Начальный импульс: \[P_0 = M \cdot v_{л0}\] \[P_0 = 320 \text{ кг} \cdot 1 \text{ м/с} = 320 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] После выбрасывания груза: Скорость груза \(v_г = -10\) м/с (так как направление противоположное). Масса лодки после выбрасывания груза: \(m_л = 240\) кг. Конечный импульс системы: \[P = m_л v_л + m_г v_г\] \[P = 240 \text{ кг} \cdot v_л + 80 \text{ кг} \cdot (-10 \text{ м/с})\] \[P = 240 v_л - 800 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] По закону сохранения импульса \(P_0 = P\): \[320 \text{ кг} \cdot \text{м/с} = 240 v_л - 800 \text{ кг} \cdot \text{м/с}\] Переносим \(800\) в левую часть: \[320 + 800 = 240 v_л\] \[1120 = 240 v_л\] \[v_л = \frac{1120}{240}\] \[v_л = \frac{112}{24} = \frac{14}{3} \approx 4,67 \text{ м/с}\] Ответ: Скорость лодки стала примерно \(4,67\) м/с. 6. Пружину игрушечного пистолета с коэффициентом жесткости \(800\) Н/м сжали на \(5\) см. Какую скорость приобретет пуля при выстреле из данного пистолета в горизонтальном направлении? Масса пули \(20\) г. Дано: Коэффициент жесткости пружины \(k = 800\) Н/м Сжатие пружины \(x = 5\) см \( = 0,05\) м Масса пули \(m = 20\) г \( = 0,02\) кг Найти: Скорость пули \(v\) Решение: Применим закон сохранения энергии. Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию пули. Потенциальная энергия пружины: \[E_п = \frac{kx^2}{2}\] Кинетическая энергия пули: \[E_к = \frac{mv^2}{2}\] По закону сохранения энергии \(E_п = E_к\): \[\frac{kx^2}{2} = \frac{mv^2}{2}\] Умножим обе части на \(2\): \[kx^2 = mv^2\] Выразим скорость \(v\): \[v^2 = \frac{kx^2}{m}\] \[v = \sqrt{\frac{kx^2}{m}}\] \[v = x \sqrt{\frac{k}{m}}\] Подставляем известные значения: \[v = 0,05 \text{ м} \cdot \sqrt{\frac{800 \text{ Н/м}}{0,02 \text{ кг}}}\] \[v = 0,05 \text{ м} \cdot \sqrt{40000 \text{ м}^2/\text{с}^2}\] \[v = 0,05 \text{ м} \cdot 200 \text{ м/с}\] \[v = 10 \text{ м/с}\] Ответ: Пуля приобретет скорость \(10\) м/с.