Задание 2. Выяснить, как связаны между собой уровни тревожности и агрессивности, оцененные с помощью тестов у 15 подростков. Проранжированные значения данных уровней приведены в таблице. Проверить значимость коэффициента корреляции при \( \alpha = 0,05 \). Найти коэффициент корреляции и проверить его значимость. Сделайте вывод. Найти уравнение линейной регрессии \( y = ax+b \). Построить графики данных и уравнения регрессии.
Таблица исходных данных:
| № испытуемого | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Ранги уровня тревожности (x) | 1 | 7 | 10 | 11 | 2 | 4 | 15 | 12 | 8 | 3 | 5 | 14 | 6 | 9 | 13 |
| Ранги уровня агрессивности (y) | 2 | 9 | 8 | 13 | 1 | 3 | 10 | 14 | 7 | 4 | 6 | 15 | 5 | 11 | 12 |
Решение:
1. Расчет коэффициента ранговой корреляции Спирмена.
Для расчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена \( r_s \) нам понадобится найти разности рангов \( d_i \) и их квадраты \( d_i^2 \).
Составим вспомогательную таблицу:
| № испытуемого | \( x_i \) (тревожность) | \( y_i \) (агрессивность) | \( d_i = x_i - y_i \) | \( d_i^2 \) |
| 1 | 1 | 2 | -1 | 1 |
| 2 | 7 | 9 | -2 | 4 |
| 3 | 10 | 8 | 2 | 4 |
| 4 | 11 | 13 | -2 | 4 |
| 5 | 2 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | 4 | 3 | 1 | 1 |
| 7 | 15 | 10 | 5 | 25 |
| 8 | 12 | 14 | -2 | 4 |
| 9 | 8 | 7 | 1 | 1 |
| 10 | 3 | 4 | -1 | 1 |
| 11 | 5 | 6 | -1 | 1 |
| 12 | 14 | 15 | -1 | 1 |
| 13 | 6 | 5 | 1 | 1 |
| 14 | 9 | 11 | -2 | 4 |
| 15 | 13 | 12 | 1 | 1 |
| Сумма \( \sum d_i^2 \) | \( 1+4+4+4+1+1+25+4+1+1+1+1+1+4+1 = 54 \) | |||
Формула для коэффициента ранговой корреляции Спирмена:
\[ r_s = 1 - \frac{6 \sum d_i^2}{n(n^2 - 1)} \]Где \( n \) - количество испытуемых, \( n = 15 \).
Подставляем значения:
\[ r_s = 1 - \frac{6 \times 54}{15(15^2 - 1)} \] \[ r_s = 1 - \frac{324}{15(225 - 1)} \] \[ r_s = 1 - \frac{324}{15 \times 224} \] \[ r_s = 1 - \frac{324}{3360} \] \[ r_s = 1 - 0,0964 \] \[ r_s \approx 0,9036 \]Вывод: Коэффициент ранговой корреляции Спирмена \( r_s \approx 0,9036 \). Это указывает на сильную прямую связь между уровнями тревожности и агрессивности.
2. Проверка значимости коэффициента корреляции.
Для проверки значимости коэффициента Спирмена используем t-критерий Стьюдента.
Нулевая гипотеза \( H_0 \): Связи между уровнями тревожности и агрессивности нет (т.е. \( r_s = 0 \)).
Альтернативная гипотеза \( H_1 \): Связь между уровнями тревожности и агрессивности есть (т.е. \( r_s \neq 0 \)).
Формула для t-критерия:
\[ t = r_s \sqrt{\frac{n-2}{1 - r_s^2}} \]Подставляем значения:
\[ t = 0,9036 \sqrt{\frac{15-2}{1 - (0,9036)^2}} \] \[ t = 0,9036 \sqrt{\frac{13}{1 - 0,8165}} \] \[ t = 0,9036 \sqrt{\frac{13}{0,1835}} \] \[ t = 0,9036 \sqrt{70,844} \] \[ t = 0,9036 \times 8,416 \] \[ t \approx 7,604 \]Число степеней свободы \( df = n - 2 = 15 - 2 = 13 \).
Уровень значимости \( \alpha = 0,05 \).
По таблице критических значений t-критерия Стьюдента для \( df = 13 \) и \( \alpha = 0,05 \) (двусторонний тест) находим критическое значение \( t_{крит} \approx 2,160 \).
Сравниваем полученное значение \( t_{расч} \) с критическим значением \( t_{крит} \):
\( |t_{расч}| = 7,604 > t_{крит} = 2,160 \).
Вывод: Поскольку расчетное значение t-критерия больше критического значения, мы отвергаем нулевую гипотезу. Это означает, что коэффициент корреляции статистически значим при уровне значимости \( \alpha = 0,05 \). Существует статистически значимая прямая связь между уровнями тревожности и агрессивности у подростков.
3. Нахождение уравнения линейной регрессии \( y = ax+b \).
Для нахождения уравнения линейной регрессии нам понадобятся средние значения \( \bar{x} \) и \( \bar{y} \), а также суммы \( \sum x_i \), \( \sum y_i \), \( \sum x_i^2 \), \( \sum y_i^2 \) и \( \sum x_i y_i \).
Сначала рассчитаем средние значения:
\( \sum x_i = 1+7+10+11+2+4+15+12+8+3+5+14+6+9+13 = 120 \)
\( \bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{120}{15} = 8 \)
\( \sum y_i = 2+9+8+13+1+3+10+14+7+4+6+15+5+11+12 = 120 \)
\( \bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{120}{15} = 8 \)
Теперь рассчитаем \( \sum x_i^2 \), \( \sum y_i^2 \) и \( \sum x_i y_i \).
| № | \( x_i \) | \( y_i \) | \( x_i^2 \) | \( y_i^2 \) | \( x_i y_i \) |
| 1 | 1 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 2 | 7 | 9 | 49 | 81 | 63 |
| 3 | 10 | 8 | 100 | 64 | 80 |
| 4 | 11 | 13 | 121 | 169 | 143 |
| 5 | 2 | 1 | 4 | 1 | 2 |
| 6 | 4 | 3 | 16 | 9 | 12 |
| 7 | 15 | 10 | 225 | 100 | 150 |
| 8 | 12 | 14 | 144 | 196 | 168 |
| 9 | 8 | 7 | 64 | 49 | 56 |
| 10 | 3 | 4 | 9 | 16 | 12 |
| 11 | 5 | 6 | 25 | 36 | 30 |
| 12 | 14 | 15 | 196 | 225 | 210 |
| 13 | 6 | 5 | 36 | 25 | 30 |
| 14 | 9 | 11 | 81 | 121 | 99 |
| 15 | 13 | 12 | 169 | 144 | 156 |
| Сумма | 120 | 120 | 1244 | 1294 | 1213 |
Формулы для коэффициентов \( a \) и \( b \) линейной регрессии:
\[ a = \frac{n \sum x_i y_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} \] \[ b = \bar{y} - a \bar{x} \]Подставляем значения:
\[ a = \frac{15 \times 1213 - (120)(120)}{15 \times 1244 - (120)^2} \] \[ a = \frac{18195 - 14400}{18660 - 14400} \] \[ a = \frac{3795}{4260} \] \[ a \approx 0,8908 \]Теперь найдем \( b \):
\[ b = 8 - 0,8908 \times 8 \] \[ b = 8 - 7,1264 \] \[ b \approx 0,8736 \]Уравнение линейной регрессии:
\[ y = 0,8908x + 0,8736 \]4. Построение графиков данных и уравнения регрессии.
Для построения графика нам нужно отметить точки \( (x_i, y_i) \) из исходной таблицы и построить прямую, соответствующую уравнению регрессии \( y = 0,8908x + 0,8736 \).
Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмем, например, \( x=1 \) и \( x=15 \).
При \( x=1 \): \( y = 0,8908 \times 1 + 0,8736 = 0,8908 + 0,8736 = 1,7644 \)
При \( x=15 \): \( y = 0,8908 \times 15 + 0,8736 = 13,362 + 0,8736 = 14,2356 \)
Таким образом, прямая регрессии проходит через точки \( (1; 1,76) \) и \( (15; 14,24) \).
График:
На горизонтальной оси (ось X) отложим ранги уровня тревожности.
На вертикальной оси (ось Y) отложим ранги уровня агрессивности.
Отметим 15 точек данных: (1,2), (7,9), (10,8), (11,13), (2,1), (4,3), (15,10), (12,14), (8,7), (3,4), (5,6), (14,15), (6,5), (9,11), (13,12).
Затем проведем прямую линию, соединяющую точки (1; 1,76) и (15; 14,24).
(Примечание для школьника: Нарисуйте координатную плоскость. Отметьте все 15 точек, используя данные из таблицы. Затем проведите прямую линию, которая наилучшим образом описывает эти точки, используя две рассчитанные точки для уравнения регрессии.)
Общий вывод:
Между уровнями тревожности и агрессивности у 15 подростков существует сильная, статистически значимая прямая связь. Это означает, что с увеличением уровня тревожности, как правило, увеличивается и уровень агрессивности. Уравнение линейной регрессии \( y = 0,8908x + 0,8736 \) позволяет предсказывать ра