Решение задачи: Вычисление степени диссоциации аммиака

Вот решение задачи, оформленное так, чтобы школьнику было удобно переписать в тетрадь.

Задача 11.

Вычислить степень диссоциации аммиака при:

а) 400°C и 10,13·10³ гПа,

б) 400°C и 101,3·10³ гПа и процентное содержание (в объемных процентах) аммиака в равновесной смеси, если константа равновесия реакции

N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃

при 400°C K_p = 78,59·10³ гПа.

Решение:

Дана реакция синтеза аммиака:

N₂ + 3H₂ ⇌ 2NH₃

В задаче требуется вычислить степень диссоциации аммиака, то есть мы рассматриваем обратную реакцию – разложение аммиака:

2NH₃ ⇌ N₂ + 3H₂

Для этой реакции константа равновесия K_p' будет обратна константе K_p для реакции синтеза:

\[K_p' = \frac{1}{K_p} = \frac{1}{78,59 \cdot 10^3 \text{ гПа}} = \frac{1}{78,59 \cdot 10^3 \cdot 10^{-5} \text{ атм}} = \frac{1}{78,59 \cdot 10^{-2} \text{ атм}} = \frac{1}{0,7859 \text{ атм}} \approx 1,272 \text{ атм}^{-1}\]

Примечание: 1 гПа = 10^-5 атм.

Пусть начальное количество аммиака равно 1 моль. Если степень диссоциации аммиака равна \(\alpha\), то в равновесии будет:

• NH₃: \(1 - \alpha\) моль
• N₂: \(\frac{\alpha}{2}\) моль
• H₂: \(\frac{3\alpha}{2}\) моль

Общее количество молей в равновесии:

\[n_{общ} = (1 - \alpha) + \frac{\alpha}{2} + \frac{3\alpha}{2} = 1 - \alpha + \frac{4\alpha}{2} = 1 - \alpha + 2\alpha = 1 + \alpha\]

Парциальные давления компонентов выражаются через их мольные доли и общее давление \(P\):

\[P_{NH_3} = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \cdot P\] \[P_{N_2} = \frac{\frac{\alpha}{2}}{1 + \alpha} \cdot P = \frac{\alpha}{2(1 + \alpha)} \cdot P\] \[P_{H_2} = \frac{\frac{3\alpha}{2}}{1 + \alpha} \cdot P = \frac{3\alpha}{2(1 + \alpha)} \cdot P\]

Константа равновесия K_p' для реакции диссоциации аммиака:

\[K_p' = \frac{P_{N_2} \cdot P_{H_2}^3}{P_{NH_3}^2}\] \[K_p' = \frac{\frac{\alpha}{2(1 + \alpha)} \cdot P \cdot \left(\frac{3\alpha}{2(1 + \alpha)} \cdot P\right)^3}{\left(\frac{1 - \alpha}{1 + \alpha} \cdot P\right)^2}\] \[K_p' = \frac{\frac{\alpha}{2(1 + \alpha)} \cdot P \cdot \frac{27\alpha^3}{8(1 + \alpha)^3} \cdot P^3}{\frac{(1 - \alpha)^2}{(1 + \alpha)^2} \cdot P^2}\] \[K_p' = \frac{\frac{27\alpha^4}{16(1 + \alpha)^4} \cdot P^4}{\frac{(1 - \alpha)^2}{(1 + \alpha)^2} \cdot P^2}\] \[K_p' = \frac{27\alpha^4 \cdot P^2}{16(1 - \alpha)^2 (1 + \alpha)^2}\] \[K_p' = \frac{27\alpha^4 \cdot P^2}{16(1 - \alpha^2)^2}\]

Отсюда выразим \(\alpha\):

\[K_p' \cdot 16(1 - \alpha^2)^2 = 27\alpha^4 \cdot P^2\] \[\frac{16 K_p'}{27 P^2} = \frac{\alpha^4}{(1 - \alpha^2)^2} = \left(\frac{\alpha^2}{1 - \alpha^2}\right)^2\] \[\sqrt{\frac{16 K_p'}{27 P^2}} = \frac{\alpha^2}{1 - \alpha^2}\] \[\frac{4}{P} \sqrt{\frac{K_p'}{27}} = \frac{\alpha^2}{1 - \alpha^2}\]

Обозначим \(X = \frac{4}{P} \sqrt{\frac{K_p'}{27}}\). Тогда:

\[X = \frac{\alpha^2}{1 - \alpha^2}\] \[X(1 - \alpha^2) = \alpha^2\] \[X - X\alpha^2 = \alpha^2\] \[X = \alpha^2 + X\alpha^2\] \[X = \alpha^2(1 + X)\] \[\alpha^2 = \frac{X}{1 + X}\] \[\alpha = \sqrt{\frac{X}{1 + X}}\]

Теперь подставим значения для каждого случая.

а) Давление \(P = 10,13 \cdot 10^3 \text{ гПа}\)

Переведем давление в атмосферы:

\[P = 10,13 \cdot 10^3 \text{ гПа} = 10,13 \cdot 10^3 \cdot 10^{-5} \text{ атм} = 10,13 \cdot 10^{-2} \text{ атм} = 0,1013 \text{ атм}\]

Рассчитаем \(X\):

\[X = \frac{4}{0,1013} \sqrt{\frac{1,272}{27}} = \frac{4}{0,1013} \sqrt{0,04711} = \frac{4}{0,1013} \cdot 0,21705 \approx 4,00\]

Теперь найдем \(\alpha\):

\[\alpha = \sqrt{\frac{4,00}{1 + 4,00}} = \sqrt{\frac{4,00}{5,00}} = \sqrt{0,8} \approx 0,894\]

Степень диссоциации аммиака составляет 0,894 или 89,4%.

б) Давление \(P = 101,3 \cdot 10^3 \text{ гПа}\)

Переведем давление в атмосферы:

\[P = 101,3 \cdot 10^3 \text{ гПа} = 101,3 \cdot 10^3 \cdot 10^{-5} \text{ атм} = 101,3 \cdot 10^{-2} \text{ атм} = 1,013 \text{ атм}\]

Рассчитаем \(X\):

\[X = \frac{4}{1,013} \sqrt{\frac{1,272}{27}} = \frac{4}{1,013} \sqrt{0,04711} = \frac{4}{1,013} \cdot 0,21705 \approx 0,856\]

Теперь найдем \(\alpha\):

\[\alpha = \sqrt{\frac{0,856}{1 + 0,856}} = \sqrt{\frac{0,856}{1,856}} = \sqrt{0,4612} \approx 0,679\]

Степень диссоциации аммиака составляет 0,679 или 67,9%.

Теперь найдем процентное содержание аммиака в равновесной смеси для случая б).

Мольная доля аммиака в равновесной смеси:

\[x_{NH_3} = \frac{1 - \alpha}{1 + \alpha}\]

Подставим \(\alpha = 0,679\):

\[x_{NH_3} = \frac{1 - 0,679}{1 + 0,679} = \frac{0,321}{1,679} \approx 0,191\]

Процентное содержание аммиака (объемные проценты) равно мольной доле, умноженной на 100%:

\[\text{Объемное содержание NH}_3 = 0,191 \cdot 100\% = 19,1\%\]

Ответ:

а) Степень диссоциации аммиака при 400°C и 10,13·10³ гПа составляет примерно 0,894 (или 89,4%).

б) Степень диссоциации аммиака при 400°C и 101,3·10³ гПа составляет примерно 0,679 (или 67,9%). Процентное содержание аммиака в равновесной смеси составляет примерно 19,1%.