2 вариант
1. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 18 и 30.
Решение:
Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.
Известно, что один катет \(a = 18\), а гипотенуза \(c = 30\).
Для нахождения площади треугольника нам нужен второй катет \(b\).
По теореме Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\).
Подставим известные значения:
\(18^2 + b^2 = 30^2\)
\(324 + b^2 = 900\)
\(b^2 = 900 - 324\)
\(b^2 = 576\)
\(b = \sqrt{576}\)
\(b = 24\)
Теперь, когда известны оба катета, найдем площадь треугольника по формуле:
\(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\)
\(S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 24\)
\(S = 9 \cdot 24\)
\(S = 216\)
Ответ: 216.
2. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \(sin A = 0,4\), \(AC = 3\sqrt{21}\). Найдите AB.
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:
Известно, что \(sin A = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{BC}{AB}\).
Также известно, что \(cos A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB}\).
Нам дано \(sin A = 0,4\) и \(AC = 3\sqrt{21}\).
Для того чтобы найти AB, нам нужно найти \(cos A\).
Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\).
\((0,4)^2 + cos^2 A = 1\)
\(0,16 + cos^2 A = 1\)
\(cos^2 A = 1 - 0,16\)
\(cos^2 A = 0,84\)
\(cos A = \sqrt{0,84}\)
\(cos A = \sqrt{\frac{84}{100}}\)
\(cos A = \frac{\sqrt{84}}{10}\)
\(cos A = \frac{\sqrt{4 \cdot 21}}{10}\)
\(cos A = \frac{2\sqrt{21}}{10}\)
\(cos A = \frac{\sqrt{21}}{5}\)
Теперь используем формулу для \(cos A\):
\(cos A = \frac{AC}{AB}\)
\(\frac{\sqrt{21}}{5} = \frac{3\sqrt{21}}{AB}\)
Чтобы найти AB, умножим обе части на \(5 \cdot AB\) и разделим на \(\sqrt{21}\):
\(AB \cdot \sqrt{21} = 3\sqrt{21} \cdot 5\)
\(AB = \frac{3\sqrt{21} \cdot 5}{\sqrt{21}}\)
\(AB = 3 \cdot 5\)
\(AB = 15\)
Ответ: 15.
3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, \(AB = 4\), \(sin A = \frac{\sqrt{19}}{10}\). Найдите AC.
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C:
Известно, что \(sin A = \frac{противолежащий катет}{гипотенуза} = \frac{BC}{AB}\).
Также известно, что \(cos A = \frac{прилежащий катет}{гипотенуза} = \frac{AC}{AB}\).
Нам дано \(AB = 4\) и \(sin A = \frac{\sqrt{19}}{10}\).
Для того чтобы найти AC, нам нужно найти \(cos A\).
Используем основное тригонометрическое тождество: \(sin^2 A + cos^2 A = 1\).
\(\left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2 + cos^2 A = 1\)
\(\frac{19}{100} + cos^2 A = 1\)
\(cos^2 A = 1 - \frac{19}{100}\)
\(cos^2 A = \frac{100 - 19}{100}\)
\(cos^2 A = \frac{81}{100}\)
\(cos A = \sqrt{\frac{81}{100}}\)
\(cos A = \frac{9}{10}\)
Теперь используем формулу для \(cos A\):
\(cos A = \frac{AC}{AB}\)
\(\frac{9}{10} = \frac{AC}{4}\)
Чтобы найти AC, умножим обе части на 4:
\(AC = \frac{9}{10} \cdot 4\)
\(AC = \frac{36}{10}\)
\(AC = 3,6\)
Ответ: 3,6.