Решение интеграла ∫ctg⁴(3x)/sin²(3x) dx

Решим интеграл: \[ \int \frac{\text{ctg}^4(3x)}{\sin^2(3x)} dx \] Для решения этого интеграла воспользуемся методом замены переменной. Шаг 1: Выберем подходящую замену. Заметим, что производная котангенса связана с \( \frac{1}{\sin^2 x} \). Пусть \( t = \text{ctg}(3x) \). Шаг 2: Найдем дифференциал \( dt \). Производная \( \text{ctg}(u) \) равна \( -\frac{1}{\sin^2(u)} \cdot u' \). В нашем случае \( u = 3x \), поэтому \( u' = 3 \). Тогда \( dt = (\text{ctg}(3x))' dx = -\frac{1}{\sin^2(3x)} \cdot 3 dx \). Отсюда выразим \( \frac{1}{\sin^2(3x)} dx \): \( dt = -3 \frac{1}{\sin^2(3x)} dx \) \( -\frac{1}{3} dt = \frac{1}{\sin^2(3x)} dx \) Шаг 3: Подставим замену в интеграл. Исходный интеграл: \[ \int \text{ctg}^4(3x) \cdot \frac{1}{\sin^2(3x)} dx \] После замены: \[ \int t^4 \left( -\frac{1}{3} dt \right) \] Шаг 4: Вычислим полученный интеграл. Вынесем константу \( -\frac{1}{3} \) за знак интеграла: \[ -\frac{1}{3} \int t^4 dt \] Используем формулу для интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): \[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{t^{4+1}}{4+1} + C \] \[ -\frac{1}{3} \cdot \frac{t^5}{5} + C \] \[ -\frac{t^5}{15} + C \] Шаг 5: Вернемся к исходной переменной \( x \). Подставим \( t = \text{ctg}(3x) \) обратно: \[ -\frac{(\text{ctg}(3x))^5}{15} + C \] Или, что то же самое: \[ -\frac{\text{ctg}^5(3x)}{15} + C \] Окончательный ответ: \[ \int \frac{\text{ctg}^4(3x)}{\sin^2(3x)} dx = -\frac{\text{ctg}^5(3x)}{15} + C \]