8 класс. Самостоятельная работа по теме
«Сложение и вычитание рациональных дробей с
разными знаменателями», Вариант 2.
Упростить выражение
1) \( \frac{y}{5} + \frac{y-8}{10} \)
Для того чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 10 будет 10.
Первую дробь \( \frac{y}{5} \) умножим на \( \frac{2}{2} \):
\( \frac{y \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2y}{10} \)
Теперь складываем дроби:
\( \frac{2y}{10} + \frac{y-8}{10} = \frac{2y + (y-8)}{10} = \frac{2y + y - 8}{10} = \frac{3y - 8}{10} \)
Ответ: \( \frac{3y - 8}{10} \)
2) \( \frac{x-y}{6} + \frac{5x-y}{24} \)
Общий знаменатель для 6 и 24 будет 24.
Первую дробь \( \frac{x-y}{6} \) умножим на \( \frac{4}{4} \):
\( \frac{(x-y) \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4(x-y)}{24} = \frac{4x - 4y}{24} \)
Теперь складываем дроби:
\( \frac{4x - 4y}{24} + \frac{5x - y}{24} = \frac{(4x - 4y) + (5x - y)}{24} = \frac{4x - 4y + 5x - y}{24} = \frac{9x - 5y}{24} \)
Ответ: \( \frac{9x - 5y}{24} \)
3) \( \frac{8a-3}{a} - \frac{8m-5}{m} \)
Здесь, скорее всего, опечатка в условии, и вместо \( \frac{8m-5}{m} \) должно быть \( \frac{8a-5}{a} \) или что-то подобное, чтобы переменные были одинаковыми. Если же переменные разные, то общий знаменатель будет \( am \).
Предположим, что задача имела в виду \( \frac{8a-3}{a} - \frac{8a-5}{a} \). Тогда:
\( \frac{8a-3}{a} - \frac{8a-5}{a} = \frac{(8a-3) - (8a-5)}{a} = \frac{8a - 3 - 8a + 5}{a} = \frac{2}{a} \)
Если же переменные действительно разные, то:
Общий знаменатель для \( a \) и \( m \) будет \( am \).
Первую дробь \( \frac{8a-3}{a} \) умножим на \( \frac{m}{m} \):
\( \frac{(8a-3) \cdot m}{a \cdot m} = \frac{8am - 3m}{am} \)
Вторую дробь \( \frac{8m-5}{m} \) умножим на \( \frac{a}{a} \):
\( \frac{(8m-5) \cdot a}{m \cdot a} = \frac{8am - 5a}{am} \)
Теперь вычитаем дроби:
\( \frac{8am - 3m}{am} - \frac{8am - 5a}{am} = \frac{(8am - 3m) - (8am - 5a)}{am} = \frac{8am - 3m - 8am + 5a}{am} = \frac{5a - 3m}{am} \)
Ответ: \( \frac{5a - 3m}{am} \) (если переменные разные)
4) \( \frac{a-b}{ab} - \frac{b-a}{b^2} \)
Общий знаменатель для \( ab \) и \( b^2 \) будет \( ab^2 \).
Первую дробь \( \frac{a-b}{ab} \) умножим на \( \frac{b}{b} \):
\( \frac{(a-b) \cdot b}{ab \cdot b} = \frac{ab - b^2}{ab^2} \)
Вторую дробь \( \frac{b-a}{b^2} \) умножим на \( \frac{a}{a} \):
\( \frac{(b-a) \cdot a}{b^2 \cdot a} = \frac{ab - a^2}{ab^2} \)
Теперь вычитаем дроби:
\( \frac{ab - b^2}{ab^2} - \frac{ab - a^2}{ab^2} = \frac{(ab - b^2) - (ab - a^2)}{ab^2} = \frac{ab - b^2 - ab + a^2}{ab^2} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2} \)
Можно заметить, что \( b-a = -(a-b) \). Тогда вторую дробь можно переписать как \( \frac{-(a-b)}{b^2} = -\frac{a-b}{b^2} \). Тогда выражение будет: \( \frac{a-b}{ab} - (-\frac{a-b}{b^2}) = \frac{a-b}{ab} + \frac{a-b}{b^2} \)
Вынесем \( (a-b) \) за скобки:
\( (a-b) \left( \frac{1}{ab} + \frac{1}{b^2} \right) \)
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю \( ab^2 \):
\( (a-b) \left( \frac{b}{ab^2} + \frac{a}{ab^2} \right) = (a-b) \frac{b+a}{ab^2} = \frac{(a-b)(a+b)}{ab^2} = \frac{a^2 - b^2}{ab^2} \)
Ответ: \( \frac{a^2 - b^2}{ab^2} \)
5) \( \frac{m-4}{3(m-7)} + \frac{m}{m-7} \)
Общий знаменатель для \( 3(m-7) \) и \( m-7 \) будет \( 3(m-7) \).
Вторую дробь \( \frac{m}{m-7} \) умножим на \( \frac{3}{3} \):
\( \frac{m \cdot 3}{(m-7) \cdot 3} = \frac{3m}{3(m-7)} \)
Теперь складываем дроби:
\( \frac{m-4}{3(m-7)} + \frac{3m}{3(m-7)} = \frac{(m-4) + 3m}{3(m-7)} = \frac{m - 4 + 3m}{3(m-7)} = \frac{4m - 4}{3(m-7)} \)
Можно вынести 4 из числителя:
\( \frac{4(m - 1)}{3(m-7)} \)
Ответ: \( \frac{4(m - 1)}{3(m-7)} \)
6) \( \frac{c-11}{11c-88} - \frac{c-5}{5c-40} \)
Сначала разложим знаменатели на множители:
\( 11c - 88 = 11(c - 8) \)
\( 5c - 40 = 5(c - 8) \)
Теперь перепишем выражение:
\( \frac{c-11}{11(c-8)} - \frac{c-5}{5(c-8)} \)
Общий знаменатель для \( 11(c-8) \) и \( 5(c-8) \) будет \( 55(c-8) \).
Первую дробь \( \frac{c-11}{11(c-8)} \) умножим на \( \frac{5}{5} \):
\( \frac{(c-11) \cdot 5}{11(c-8) \cdot 5} = \frac{5(c-11)}{55(c-8)} = \frac{5c - 55}{55(c-8)} \)
Вторую дробь \( \frac{c-5}{5(c-8)} \) умножим на \( \frac{11}{11} \):
\( \frac{(c-5) \cdot 11}{5(c-8) \cdot 11} = \frac{11(c-5)}{55(c-8)} = \frac{11c - 55}{55(c-8)} \)
Теперь вычитаем дроби:
\( \frac{5c - 55}{55(c-8)} - \frac{11c - 55}{55(c-8)} = \frac{(5c - 55) - (11c - 55)}{55(c-8)} = \frac{5c - 55 - 11c + 55}{55(c-8)} = \frac{-6c}{55(c-8)} \)
Ответ: \( \frac{-6c}{55(c-8)} \)