Хорошо, давайте решим эту задачу по термодинамике.
Дано:
\(c_p = 1,003 \text{ кДж/кг} \cdot \text{К} = 1,003 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К}\)
\(c_v = 0,716 \text{ кДж/кг} \cdot \text{К} = 0,716 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К}\)
\(R = 0,287 \text{ кДж/кг} \cdot \text{К} = 0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К}\)
\(p_1 = 0,08 \text{ МПа} = 0,08 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
\(p_2 = 0,3 \text{ МПа} = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
\(t_1 = 35^\circ\text{С}\)
\(t_3 = 210^\circ\text{С}\)
\(n = 1,2\)
Переведем температуры в Кельвины:
\(T_1 = t_1 + 273,15 = 35 + 273,15 = 308,15 \text{ К}\)
\(T_3 = t_3 + 273,15 = 210 + 273,15 = 483,15 \text{ К}\)
Определим показатель адиабаты \(\kappa\):
\(\kappa = \frac{c_p}{c_v} = \frac{1,003 \cdot 10^3}{0,716 \cdot 10^3} \approx 1,4\)
Цикл состоит из следующих процессов:
1-2: Изохорный процесс (\(v = \text{const}\))
2-3: Изобарный процесс (\(p = \text{const}\))
3-4: Политропный процесс (\(pv^n = \text{const}\))
4-1: Изотермический процесс (\(T = \text{const}\))
---
1. Определить параметры p, v, T для характерных точек цикла.
Точка 1:
Дано: \(p_1 = 0,08 \cdot 10^6 \text{ Па}\), \(T_1 = 308,15 \text{ К}\)
Используем уравнение состояния идеального газа: \(p_1 v_1 = R T_1\)
Отсюда, удельный объем \(v_1 = \frac{R T_1}{p_1}\)
\(v_1 = \frac{0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} \cdot 308,15 \text{ К}}{0,08 \cdot 10^6 \text{ Па}} \approx 1,104 \text{ м}^3/\text{кг}\)
Точка 2:
Процесс 1-2 - изохорный, значит \(v_2 = v_1 = 1,104 \text{ м}^3/\text{кг}\)
Дано: \(p_2 = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
Используем уравнение состояния идеального газа: \(p_2 v_2 = R T_2\)
Отсюда, температура \(T_2 = \frac{p_2 v_2}{R}\)
\(T_2 = \frac{0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 1,104 \text{ м}^3/\text{кг}}{0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К}} \approx 1153,3 \text{ К}\)
Точка 3:
Процесс 2-3 - изобарный, значит \(p_3 = p_2 = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
Дано: \(T_3 = 483,15 \text{ К}\)
Используем уравнение состояния идеального газа: \(p_3 v_3 = R T_3\)
Отсюда, удельный объем \(v_3 = \frac{R T_3}{p_3}\)
\(v_3 = \frac{0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} \cdot 483,15 \text{ К}}{0,3 \cdot 10^6 \text{ Па}} \approx 0,461 \text{ м}^3/\text{кг}\)
Точка 4:
Процесс 4-1 - изотермический, значит \(T_4 = T_1 = 308,15 \text{ К}\)
Процесс 3-4 - политропный, \(p_3 v_3^n = p_4 v_4^n\)
Также для политропного процесса справедливо соотношение: \(\frac{T_4}{T_3} = \left(\frac{p_4}{p_3}\right)^{\frac{n-1}{n}}\)
Отсюда, \(p_4 = p_3 \left(\frac{T_4}{T_3}\right)^{\frac{n}{n-1}}\)
\(p_4 = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot \left(\frac{308,15 \text{ К}}{483,15 \text{ К}}\right)^{\frac{1,2}{1,2-1}}\)
\(p_4 = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot \left(\frac{308,15}{483,15}\right)^{6}\)
\(p_4 = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot (0,6377)^6 \approx 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot 0,064 \approx 0,0192 \cdot 10^6 \text{ Па}\)
\(p_4 \approx 0,0192 \text{ МПа}\)
Теперь найдем \(v_4\):
Используем уравнение состояния идеального газа: \(p_4 v_4 = R T_4\)
Отсюда, удельный объем \(v_4 = \frac{R T_4}{p_4}\)
\(v_4 = \frac{0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} \cdot 308,15 \text{ К}}{0,0192 \cdot 10^6 \text{ Па}} \approx 4,606 \text{ м}^3/\text{кг}\)
Проверим политропный процесс 3-4: \(p_3 v_3^n = p_4 v_4^n\)
\(0,3 \cdot 10^6 \cdot (0,461)^{1,2} \approx 0,3 \cdot 10^6 \cdot 0,369 = 0,1107 \cdot 10^6\)
\(0,0192 \cdot 10^6 \cdot (4,606)^{1,2} \approx 0,0192 \cdot 10^6 \cdot 5,91 = 0,1135 \cdot 10^6\)
Расхождения связаны с округлениями. Примем полученные значения.
Таблица 2: Параметры в характерных точках цикла
| Точка |
p, МПа |
v, м3/кг |
T, К |
| 1 |
0,08 |
1,104 |
308,15 |
| 2 |
0,3 |
1,104 |
1153,3 |
| 3 |
0,3 |
0,461 |
483,15 |
| 4 |
0,0192 |
4,606 |
308,15 |
---
2. По полученным параметрам построить цикл в масштабе в pv- и Ts - диаграммах.
(Этот пункт требует графического построения, которое невозможно выполнить в текстовом формате. Однако, зная координаты точек, можно легко построить графики на миллиметровке или с помощью программного обеспечения.)
pv-диаграмма:
Ось X: v (м
3/кг)
Ось Y: p (МПа)
Точки: (1.104, 0.08), (1.104, 0.3), (0.461, 0.3), (4.606, 0.0192)
Процессы:
1-2: Вертикальная линия (изохора)
2-3: Горизонтальная линия (изобара)
3-4: Кривая, идущая вниз и вправо (политропа)
4-1: Кривая, идущая вверх и влево (изотерма)
Ts-диаграмма:
Ось X: s (кДж/кг·К) (энтропия)
Ось Y: T (К)
Для построения Ts-диаграммы необходимо рассчитать изменения энтропии для каждого процесса. Это будет сделано в следующем пункте.
---
3. Найти изменения внутренней энергии (\(\Delta u\)), энтальпии (\(\Delta h\)), энтропии (\(\Delta s\)) в каждом процессе. Определить теплоту (q) и работу (l) в каждом процессе, результаты расчетов занести в таблицу 3.
Общие формулы:
Изменение внутренней энергии: \(\Delta u = c_v \Delta T\)
Изменение энтальпии: \(\Delta h = c_p \Delta T\)
Работа: \(l = \int p dv\)
Теплота: \(q = \Delta u + l\) (первое начало термодинамики)
Процесс 1-2 (изохорный, \(v = \text{const}\)):
\(\Delta T_{1-2} = T_2 - T_1 = 1153,3 - 308,15 = 845,15 \text{ К}\)
\(\Delta u_{1-2} = c_v \Delta T_{1-2} = 0,716 \cdot 10^3 \cdot 845,15 = 605,3 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = 605,3 \text{ кДж/кг}\)
\(\Delta h_{1-2} = c_p \Delta T_{1-2} = 1,003 \cdot 10^3 \cdot 845,15 = 847,6 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = 847,6 \text{ кДж/кг}\)
Работа \(l_{1-2} = 0\) (так как \(dv = 0\))
Теплота \(q_{1-2} = \Delta u_{1-2} = 605,3 \text{ кДж/кг}\)
Изменение энтропии \(\Delta s_{1-2} = c_v \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = 0,716 \cdot 10^3 \ln\left(\frac{1153,3}{308,15}\right) = 0,716 \cdot 10^3 \ln(3,742) \approx 0,716 \cdot 10^3 \cdot 1,319 = 944,4 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} = 0,944 \text{ кДж/кг} \cdot \text{К}\)
Процесс 2-3 (изобарный, \(p = \text{const}\)):
\(\Delta T_{2-3} = T_3 - T_2 = 483,15 - 1153,3 = -670,15 \text{ К}\)
\(\Delta u_{2-3} = c_v \Delta T_{2-3} = 0,716 \cdot 10^3 \cdot (-670,15) = -480,0 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = -480,0 \text{ кДж/кг}\)
\(\Delta h_{2-3} = c_p \Delta T_{2-3} = 1,003 \cdot 10^3 \cdot (-670,15) = -672,1 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = -672,1 \text{ кДж/кг}\)
Работа \(l_{2-3} = p_2 (v_3 - v_2) = 0,3 \cdot 10^6 \text{ Па} \cdot (0,461 - 1,104) \text{ м}^3/\text{кг} = 0,3 \cdot 10^6 \cdot (-0,643) = -192,9 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = -192,9 \text{ кДж/кг}\)
Теплота \(q_{2-3} = \Delta h_{2-3} = -672,1 \text{ кДж/кг}\) (для изобарного процесса)
Изменение энтропии \(\Delta s_{2-3} = c_p \ln\left(\frac{T_3}{T_2}\right) = 1,003 \cdot 10^3 \ln\left(\frac{483,15}{1153,3}\right) = 1,003 \cdot 10^3 \ln(0,419) \approx 1,003 \cdot 10^3 \cdot (-0,869) = -871,6 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} = -0,872 \text{ кДж/кг} \cdot \text{К}\)
Процесс 3-4 (политропный, \(pv^n = \text{const}\)):
\(\Delta T_{3-4} = T_4 - T_3 = 308,15 - 483,15 = -175 \text{ К}\)
\(\Delta u_{3-4} = c_v \Delta T_{3-4} = 0,716 \cdot 10^3 \cdot (-175) = -125,3 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = -125,3 \text{ кДж/кг}\)
\(\Delta h_{3-4} = c_p \Delta T_{3-4} = 1,003 \cdot 10^3 \cdot (-175) = -175,5 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = -175,5 \text{ кДж/кг}\)
Работа \(l_{3-4} = \frac{p_4 v_4 - p_3 v_3}{1-n} = \frac{R(T_4 - T_3)}{1-n}\)
\(l_{3-4} = \frac{0,287 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К} \cdot (-175 \text{ К})}{1-1,2} = \frac{-50225}{-0,2} = 251,1 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} = 251,1 \text{ кДж/кг}\)
Теплота \(q_{3-4} = \Delta u_{3-4} + l_{3-4} = -125,3 + 251,1 = 125,8 \text{ кДж/кг}\)
Также для политропного процесса \(q_{3-4} = c_n \Delta T_{3-4}\), где \(c_n = c_v \frac{n-\kappa}{n-1}\)
\(c_n = 0,716 \cdot 10^3 \frac{1,2-1,4}{1,2-1} = 0,716 \cdot 10^3 \frac{-0,2}{0,2} = -0,716 \cdot 10^3 \text{ Дж/кг} \cdot \text{К}\)
\(q_{3-4} = -0,716 \cdot 10^3 \cdot (-175) = 125,3 \cdot
