Решение задачи: f'(-2) + 3f'(4) для функции f(x) = 5x³ + 8/x

Вот решение задачи: Задача 5. Дана функция \(f(x) = 5x^3 + \frac{8}{x}\). Нужно найти значение выражения \(f'(-2) + 3f'(4)\). Решение: 1. Сначала найдем производную функции \(f(x)\). Перепишем функцию в виде, удобном для дифференцирования: \(f(x) = 5x^3 + 8x^{-1}\) Используем правила дифференцирования: * Производная степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\) * Производная суммы функций \((u+v)' = u' + v'\) * Производная константы, умноженной на функцию \((cu)' = cu'\) Найдем производную \(f'(x)\): \(f'(x) = (5x^3)' + (8x^{-1})'\) \(f'(x) = 5 \cdot (3x^{3-1}) + 8 \cdot (-1x^{-1-1})\) \(f'(x) = 15x^2 - 8x^{-2}\) \(f'(x) = 15x^2 - \frac{8}{x^2}\) 2. Теперь вычислим значение производной в точке \(x = -2\). Подставим \(x = -2\) в выражение для \(f'(x)\): \(f'(-2) = 15 \cdot (-2)^2 - \frac{8}{(-2)^2}\) \(f'(-2) = 15 \cdot 4 - \frac{8}{4}\) \(f'(-2) = 60 - 2\) \(f'(-2) = 58\) 3. Далее вычислим значение производной в точке \(x = 4\). Подставим \(x = 4\) в выражение для \(f'(x)\): \(f'(4) = 15 \cdot (4)^2 - \frac{8}{(4)^2}\) \(f'(4) = 15 \cdot 16 - \frac{8}{16}\) \(f'(4) = 240 - \frac{1}{2}\) \(f'(4) = 240 - 0.5\) \(f'(4) = 239.5\) 4. Наконец, вычислим значение выражения \(f'(-2) + 3f'(4)\). Подставим найденные значения: \(f'(-2) + 3f'(4) = 58 + 3 \cdot (239.5)\) \(f'(-2) + 3f'(4) = 58 + 718.5\) \(f'(-2) + 3f'(4) = 776.5\) Ответ: \(f'(-2) + 3f'(4) = 776.5\)