Вот решения задач по физике, которые были представлены на изображении. Я постарался сделать их максимально понятными для школьника, с подробным объяснением каждого шага и использованием формул в формате MathJax.
Задача 1
Пружинное ружье выстреливает шариком массой 20 г. На какую максимальную высоту поднимется шарик, если пружина сжата на 0,1 м, а жесткость пружины равна 400 Н/м?
Решение:
Для решения этой задачи мы будем использовать закон сохранения энергии. В начале, когда пружина сжата, вся энергия системы сосредоточена в потенциальной энергии сжатой пружины. После выстрела, когда шарик поднимается на максимальную высоту, вся эта энергия переходит в потенциальную энергию шарика в поле тяжести Земли.
1. Запишем известные данные:
* Масса шарика \(m = 20 \text{ г} = 0,02 \text{ кг}\) (переводим граммы в килограммы, так как в системе СИ масса измеряется в килограммах).
* Сжатие пружины \(x = 0,1 \text{ м}\).
* Жесткость пружины \(k = 400 \text{ Н/м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Найдем потенциальную энергию сжатой пружины:
Формула для потенциальной энергии сжатой пружины:
\[E_п = \frac{1}{2} k x^2\]
Подставим значения:
\[E_п = \frac{1}{2} \cdot 400 \text{ Н/м} \cdot (0,1 \text{ м})^2\]
\[E_п = 200 \text{ Н/м} \cdot 0,01 \text{ м}^2\]
\[E_п = 2 \text{ Дж}\]
Итак, потенциальная энергия сжатой пружины равна 2 Джоулям.
3. Найдем максимальную высоту, на которую поднимется шарик:
Когда шарик достигнет максимальной высоты \(h\), вся энергия пружины перейдет в потенциальную энергию шарика в поле тяжести. Формула для потенциальной энергии в поле тяжести:
\[E_п = m g h\]
Приравниваем потенциальную энергию пружины к потенциальной энергии шарика:
\[\frac{1}{2} k x^2 = m g h\]
Мы уже знаем, что \(\frac{1}{2} k x^2 = 2 \text{ Дж}\). Значит:
\[2 \text{ Дж} = m g h\]
Выразим высоту \(h\):
\[h = \frac{2 \text{ Дж}}{m g}\]
Подставим значения:
\[h = \frac{2 \text{ Дж}}{0,02 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h = \frac{2}{0,196} \text{ м}\]
\[h \approx 10,204 \text{ м}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(h \approx 10,20 \text{ м}\).
Ответ: Шарик поднимется на максимальную высоту примерно 10,20 м.
Задача 2
Мяч бросают с высоты 1500 см вертикально вниз со скоростью 8 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. На какую максимальную высоту поднимется мяч?
Решение:
Эта задача также решается с помощью закона сохранения энергии. Поскольку отталкивание от пола абсолютно упругое, это означает, что механическая энергия мяча сохраняется при ударе о пол. То есть, скорость, с которой мяч отскочит от пола вверх, будет равна скорости, с которой он ударился о пол.
1. Запишем известные данные:
* Начальная высота \(h_0 = 1500 \text{ см} = 15 \text{ м}\) (переводим сантиметры в метры).
* Начальная скорость \(v_0 = 8 \text{ м/с}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Найдем скорость мяча перед ударом о пол:
Используем закон сохранения энергии. В начальной точке (высота \(h_0\), скорость \(v_0\)) мяч обладает кинетической и потенциальной энергией. Перед ударом о пол (высота \(h=0\)) вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию.
Начальная полная механическая энергия:
\[E_{нач} = E_{к,нач} + E_{п,нач} = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g h_0\]
Конечная полная механическая энергия (перед ударом о пол, назовем скорость \(v_1\)):
\[E_{кон} = E_{к,кон} + E_{п,кон} = \frac{1}{2} m v_1^2 + m g \cdot 0 = \frac{1}{2} m v_1^2\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач} = E_{кон}\):
\[\frac{1}{2} m v_0^2 + m g h_0 = \frac{1}{2} m v_1^2\]
Разделим все на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_0^2 + g h_0 = \frac{1}{2} v_1^2\]
Умножим все на 2:
\[v_0^2 + 2 g h_0 = v_1^2\]
Выразим \(v_1\):
\[v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}\]
Подставим значения:
\[v_1 = \sqrt{(8 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 15 \text{ м}}\]
\[v_1 = \sqrt{64 + 294}\]
\[v_1 = \sqrt{358} \text{ м/с}\]
\[v_1 \approx 18,92 \text{ м/с}\]
Это скорость, с которой мяч ударяется о пол.
3. Найдем максимальную высоту, на которую поднимется мяч после отскока:
Поскольку отталкивание абсолютно упругое, мяч отскочит от пола со скоростью \(v_1\). Теперь эта скорость будет начальной скоростью для движения вверх. На максимальной высоте \(h_{max}\) скорость мяча станет равной нулю.
Снова используем закон сохранения энергии. В начальной точке (после отскока, высота \(h=0\), скорость \(v_1\)) мяч обладает только кинетической энергией. На максимальной высоте (скорость \(v=0\), высота \(h_{max}\)) вся эта энергия перейдет в потенциальную энергию.
Начальная полная механическая энергия (после отскока):
\[E_{нач}' = \frac{1}{2} m v_1^2\]
Конечная полная механическая энергия (на максимальной высоте):
\[E_{кон}' = m g h_{max}\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач}' = E_{кон}'\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 = m g h_{max}\]
Разделим все на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_1^2 = g h_{max}\]
Выразим \(h_{max}\):
\[h_{max} = \frac{v_1^2}{2 g}\]
Подставим значение \(v_1^2 = 358\):
\[h_{max} = \frac{358 \text{ (м/с)}^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h_{max} = \frac{358}{19,6} \text{ м}\]
\[h_{max} \approx 18,265 \text{ м}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(h_{max} \approx 18,27 \text{ м}\).
Ответ: Мяч поднимется на максимальную высоту примерно 18,27 м.
Задача 3
Тело падает без начальной скорости с высоты 20 м. Найти его скорость перед столкновением с землей.
Решение:
Эту задачу также можно решить с помощью закона сохранения энергии. В начальной точке (высота 20 м, начальная скорость 0) тело обладает только потенциальной энергией. Перед столкновением с землей (высота 0) вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию.
1. Запишем известные данные:
* Начальная высота \(h = 20 \text{ м}\).
* Начальная скорость \(v_0 = 0 \text{ м/с}\) (без начальной скорости).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Применим закон сохранения энергии:
Начальная полная механическая энергия:
\[E_{нач} = E_{к,нач} + E_{п,нач} = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g h\]
Поскольку \(v_0 = 0\), то \(E_{к,нач} = 0\).
\[E_{нач} = m g h\]
Конечная полная механическая энергия (перед столкновением с землей, назовем скорость \(v\)):
\[E_{кон} = E_{к,кон} + E_{п,кон} = \frac{1}{2} m v^2 + m g \cdot 0 = \frac{1}{2} m v^2\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач} = E_{кон}\):
\[m g h = \frac{1}{2} m v^2\]
Разделим обе части на \(m\):
\[g h = \frac{1}{2} v^2\]
Выразим \(v^2\):
\[v^2 = 2 g h\]
Выразим \(v\):
\[v = \sqrt{2 g h}\]
3. Подставим значения:
\[v = \sqrt{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 20 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{19,6 \cdot 20}\]
\[v = \sqrt{392} \text{ м/с}\]
\[v \approx 19,7989 \text{ м/с}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(v \approx 19,80 \text{ м/с}\).
Ответ: Скорость тела перед столкновением с землей примерно 19,80 м/с.
Задача 4
На какой высоте находилась воздушная цель, если для достижения этой высоты скорость снаряда, запущенного с поверхности Земли, была равна 300 м/с?
Решение:
В этой задаче мы предполагаем, что снаряд был запущен вертикально вверх и достиг цели на максимальной высоте, где его скорость стала 300 м/с. Однако формулировка "для достижения этой высоты скорость снаряда... была равна 300 м/с" может быть интерпретирована по-разному. Если это скорость *в момент достижения* цели, то это не максимальная высота, а какая-то промежуточная. Если же это *начальная скорость* снаряда, с которой он был запущен, и он достиг максимальной высоты, где его скорость стала 0, то это другая задача.
Давайте предположим, что 300 м/с - это *начальная скорость* снаряда, с которой он был запущен с поверхности Земли, и нам нужно найти максимальную высоту, на которую он поднимется (где его конечная скорость будет 0). Это наиболее распространенная интерпретация подобных задач.
1. Запишем известные данные:
* Начальная скорость снаряда \(v_0 = 300 \text{ м/с}\).
* Конечная скорость на максимальной высоте \(v = 0 \text{ м/с}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Применим закон сохранения энергии:
В начальной точке (поверхность Земли, высота \(h=0\), скорость \(v_0\)) снаряд обладает только кинетической энергией. На максимальной высоте \(h_{max}\) (скорость \(v=0\)) вся эта энергия перейдет в потенциальную энергию.
Начальная полная механическая энергия:
\[E_{нач} = \frac{1}{2} m v_0^2\]
Конечная полная механическая энергия (на максимальной высоте):
\[E_{кон} = m g h_{max}\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач} = E_{кон}\):
\[\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h_{max}\]
Разделим обе части на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_0^2 = g h_{max}\]
Выразим \(h_{max}\):
\[h_{max} = \frac{v_0^2}{2 g}\]
3. Подставим значения:
\[h_{max} = \frac{(300 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2}\]
\[h_{max} = \frac{90000}{19,6} \text{ м}\]
\[h_{max} \approx 4591,8367 \text{ м}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(h_{max} \approx 4591,84 \text{ м}\).
Ответ: Воздушная цель находилась на высоте примерно 4591,84 м.
Задача 5
Мальчик подъезжает на самокате к спуску, скорость мальчика в начале спуска 4 м/с. Высота спуска 4,25 м. Найти скорость мальчика в конце спуска.
Решение:
Эту задачу также решаем с помощью закона сохранения энергии. Мы предполагаем, что трение и сопротивление воздуха пренебрежимо малы, и вся потенциальная энергия превращается в кинетическую.
1. Запишем известные данные:
* Начальная скорость мальчика \(v_0 = 4 \text{ м/с}\).
* Высота спуска \(h = 4,25 \text{ м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Применим закон сохранения энергии:
В начале спуска (высота \(h\), скорость \(v_0\)) мальчик обладает как кинетической, так и потенциальной энергией. В конце спуска (высота \(h=0\), скорость \(v\)) вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию.
Начальная полная механическая энергия:
\[E_{нач} = E_{к,нач} + E_{п,нач} = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g h\]
Конечная полная механическая энергия (в конце спуска):
\[E_{кон} = E_{к,кон} + E_{п,кон} = \frac{1}{2} m v^2 + m g \cdot 0 = \frac{1}{2} m v^2\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач} = E_{кон}\):
\[\frac{1}{2} m v_0^2 + m g h = \frac{1}{2} m v^2\]
Разделим обе части на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_0^2 + g h = \frac{1}{2} v^2\]
Умножим все на 2:
\[v_0^2 + 2 g h = v^2\]
Выразим \(v\):
\[v = \sqrt{v_0^2 + 2 g h}\]
3. Подставим значения:
\[v = \sqrt{(4 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 4,25 \text{ м}}\]
\[v = \sqrt{16 + 83,3}\]
