help_outline
Условие задачи
lightbulb
Краткий ответ
Скорость мальчика в конце спуска примерно 9,96 м/с. Скорость мяча на высоте 60 м после отскока от пола рассчитывается с использованием закона сохранения энергии.
\[v = \sqrt{99,3} \text{ м/с}\]
\[v \approx 9,9649 \text{ м/с}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(v \approx 9,96 \text{ м/с}\).
Ответ: Скорость мальчика в конце спуска примерно 9,96 м/с.
Задача 6
Мяч бросают с высоты 80 м вертикально вниз со скоростью 10 м/с, после чего он абсолютно упруго отталкивается от пола и летит вверх. Найти его скорость на высоте 60 м.
Решение:
Эта задача состоит из двух частей: падение мяча до пола и подъем мяча после отскока. Поскольку отталкивание абсолютно упругое, это означает, что механическая энергия мяча сохраняется при ударе о пол. То есть, скорость, с которой мяч отскочит от пола вверх, будет равна скорости, с которой он ударился о пол.
1. Запишем известные данные:
* Начальная высота \(h_0 = 80 \text{ м}\).
* Начальная скорость \(v_0 = 10 \text{ м/с}\) (вниз).
* Высота, на которой нужно найти скорость \(h_{цель} = 60 \text{ м}\).
* Ускорение свободного падения \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\).
2. Найдем скорость мяча перед ударом о пол:
Используем закон сохранения энергии. В начальной точке (высота \(h_0\), скорость \(v_0\)) мяч обладает кинетической и потенциальной энергией. Перед ударом о пол (высота \(h=0\)) вся эта энергия перейдет в кинетическую энергию.
Начальная полная механическая энергия:
\[E_{нач} = \frac{1}{2} m v_0^2 + m g h_0\]
Конечная полная механическая энергия (перед ударом о пол, назовем скорость \(v_1\)):
\[E_{кон} = \frac{1}{2} m v_1^2\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач} = E_{кон}\):
\[\frac{1}{2} m v_0^2 + m g h_0 = \frac{1}{2} m v_1^2\]
Разделим все на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_0^2 + g h_0 = \frac{1}{2} v_1^2\]
Умножим все на 2:
\[v_0^2 + 2 g h_0 = v_1^2\]
Выразим \(v_1\):
\[v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2 g h_0}\]
Подставим значения:
\[v_1 = \sqrt{(10 \text{ м/с})^2 + 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 80 \text{ м}}\]
\[v_1 = \sqrt{100 + 1568}\]
\[v_1 = \sqrt{1668} \text{ м/с}\]
\[v_1 \approx 40,841 \text{ м/с}\]
Это скорость, с которой мяч ударяется о пол.
3. Найдем скорость мяча на высоте 60 м после отскока:
Поскольку отталкивание абсолютно упругое, мяч отскочит от пола со скоростью \(v_1\). Теперь эта скорость будет начальной скоростью для движения вверх (с высоты 0). Нам нужно найти скорость мяча на высоте \(h_{цель} = 60 \text{ м}\).
Снова используем закон сохранения энергии. В начальной точке (после отскока, высота \(h=0\), скорость \(v_1\)) мяч обладает только кинетической энергией. На высоте \(h_{цель}\) (скорость \(v_{цель}\)) мяч будет обладать как кинетической, так и потенциальной энергией.
Начальная полная механическая энергия (после отскока):
\[E_{нач}' = \frac{1}{2} m v_1^2\]
Конечная полная механическая энергия (на высоте \(h_{цель}\)):
\[E_{кон}' = \frac{1}{2} m v_{цель}^2 + m g h_{цель}\]
По закону сохранения энергии \(E_{нач}' = E_{кон}'\):
\[\frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m v_{цель}^2 + m g h_{цель}\]
Разделим все на \(m\):
\[\frac{1}{2} v_1^2 = \frac{1}{2} v_{цель}^2 + g h_{цель}\]
Умножим все на 2:
\[v_1^2 = v_{цель}^2 + 2 g h_{цель}\]
Выразим \(v_{цель}^2\):
\[v_{цель}^2 = v_1^2 - 2 g h_{цель}\]
Выразим \(v_{цель}\):
\[v_{цель} = \sqrt{v_1^2 - 2 g h_{цель}}\]
Подставим значения \(v_1^2 = 1668\):
\[v_{цель} = \sqrt{1668 \text{ (м/с)}^2 - 2 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 60 \text{ м}}\]
\[v_{цель} = \sqrt{1668 - 1176}\]
\[v_{цель} = \sqrt{492} \text{ м/с}\]
\[v_{цель} \approx 22,181 \text{ м/с}\]
4. Округлим ответ:
Если требуется округлить до сотых, то \(v_{цель} \approx 22,18 \text{ м/с}\).
Ответ: Скорость мяча на высоте 60 м после отскока примерно 22,18 м/с.
