Задача 1.
Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).
Решение:
Данный многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан другой прямоугольный параллелепипед.
Размеры большого параллелепипеда: длина \(6\), ширина \(4\), высота \(4\).
Размеры вырезанного параллелепипеда: длина \(2\), ширина \(2\), высота \(2\).
Площадь поверхности многогранника можно найти, если представить, что мы "разворачиваем" его в плоскость или считаем площади всех его граней.
Рассмотрим грани:
1. Нижняя грань: прямоугольник со сторонами \(6\) и \(4\). Площадь \(S_{нижней} = 6 \cdot 4 = 24\).
2. Верхняя грань: это прямоугольник со сторонами \(6\) и \(4\), из которого вырезан квадрат со стороной \(2\). Площадь \(S_{верхней} = (6 \cdot 4) - (2 \cdot 2) = 24 - 4 = 20\).
3. Передняя грань: прямоугольник со сторонами \(6\) и \(4\). Площадь \(S_{передней} = 6 \cdot 4 = 24\).
4. Задняя грань: прямоугольник со сторонами \(6\) и \(4\). Площадь \(S_{задней} = 6 \cdot 4 = 24\).
5. Левая боковая грань: прямоугольник со сторонами \(4\) и \(4\). Площадь \(S_{левой} = 4 \cdot 4 = 16\).
6. Правая боковая грань: прямоугольник со сторонами \(4\) и \(4\). Площадь \(S_{правой} = 4 \cdot 4 = 16\).
Теперь нужно учесть внутренние грани, которые образовались после вырезания:
7. Внутренняя передняя грань: прямоугольник со сторонами \(2\) и \(2\). Площадь \(S_{внутр.передней} = 2 \cdot 2 = 4\).
8. Внутренняя задняя грань: прямоугольник со сторонами \(2\) и \(2\). Площадь \(S_{внутр.задней} = 2 \cdot 2 = 4\).
9. Внутренняя левая боковая грань: прямоугольник со сторонами \(2\) и \(2\). Площадь \(S_{внутр.левой} = 2 \cdot 2 = 4\).
10. Внутренняя правая боковая грань: прямоугольник со сторонами \(2\) и \(2\). Площадь \(S_{внутр.правой} = 2 \cdot 2 = 4\).
Общая площадь поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней:
\[S_{общая} = S_{нижней} + S_{верхней} + S_{передней} + S_{задней} + S_{левой} + S_{правой} + S_{внутр.передней} + S_{внутр.задней} + S_{внутр.левой} + S_{внутр.правой}\]
\[S_{общая} = 24 + 20 + 24 + 24 + 16 + 16 + 4 + 4 + 4 + 4\]
\[S_{общая} = 24 + 20 + 24 + 24 + 16 + 16 + 4 \cdot 4\]
\[S_{общая} = 24 + 20 + 24 + 24 + 16 + 16 + 16\]
\[S_{общая} = 144\]
Альтернативный способ (метод дополнения):
Площадь поверхности такого многогранника можно найти как площадь поверхности большого параллелепипеда, если бы он был целым, плюс площади внутренних граней, которые появились из-за выреза.
Площадь поверхности большого параллелепипеда с размерами \(6 \times 4 \times 4\):
\[S_{большого} = 2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 4) = 2 \cdot (24 + 24 + 16) = 2 \cdot 64 = 128\]
При вырезании части, площадь верхней грани уменьшилась на площадь вырезанного квадрата (\(2 \cdot 2 = 4\)), но при этом появились 4 новые внутренние грани, каждая из которых имеет площадь \(2 \cdot 2 = 4\).
Таким образом, площадь поверхности увеличилась на \(4 \cdot 4 = 16\) (площадь внутренних стенок) и уменьшилась на \(4\) (площадь вырезанной части верхней грани). Однако, если мы считаем площадь поверхности большого параллелепипеда, то мы уже учли верхнюю грань. При вырезании, часть верхней грани исчезает, но появляются новые грани.
Более простой подход: Площадь поверхности многогранника равна площади поверхности исходного параллелепипеда, если бы он был целым, плюс площади "внутренних" граней, которые образовались при вырезании, и минус площади тех частей, которые были "закрыты" вырезом.
Рассмотрим проекции на плоскости:
1. Проекция на плоскость XY (вид сверху и снизу): Площадь верхней грани: \(6 \cdot 4 - 2 \cdot 2 = 24 - 4 = 20\). Площадь нижней грани: \(6 \cdot 4 = 24\). Сумма: \(20 + 24 = 44\).
2. Проекция на плоскость XZ (вид спереди и сзади): Площадь передней грани: \(6 \cdot 4 = 24\). Площадь задней грани: \(6 \cdot 4 = 24\). Сумма: \(24 + 24 = 48\).
3. Проекция на плоскость YZ (вид слева и справа): Площадь левой грани: \(4 \cdot 4 = 16\). Площадь правой грани: \(4 \cdot 4 = 16\). Сумма: \(16 + 16 = 32\).
Теперь добавим площади внутренних граней, которые образовались в результате выреза:
Внутренние грани: Две грани размером \(2 \times 2\) (передняя и задняя части выреза). Площадь \(2 \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 4 = 8\). Две грани размером \(2 \times 2\) (левая и правая части выреза). Площадь \(2 \cdot (2 \cdot 2) = 2 \cdot 4 = 8\).
Общая площадь: \(44 + 48 + 32 + 8 + 8 = 140\).
Давайте перепроверим. Площадь поверхности большого параллелепипеда: \(2 \cdot (6 \cdot 4 + 6 \cdot 4 + 4 \cdot 4) = 2 \cdot (24 + 24 + 16) = 2 \cdot 64 = 128\).
При вырезании "колодца" размером \(2 \times 2 \times 2\): - Площадь верхней грани уменьшается на \(2 \times 2 = 4\). - Появляются 4 боковые грани внутри "колодца", каждая размером \(2 \times 2\). Их общая площадь \(4 \cdot (2 \cdot 2) = 16\). - Нижняя грань "колодца" находится на уровне нижней грани большого параллелепипеда, поэтому она не добавляет новой поверхности. - Верхняя грань "колодца" - это часть верхней грани большого параллелепипеда, которая была удалена. Таким образом, общая площадь поверхности: \[S = S_{большого} - S_{вырезанной\_части\_верхней\_грани} + S_{внутренних\_стенок}\] \[S = 128 - (2 \cdot 2) + (4 \cdot (2 \cdot 2))\] \[S = 128 - 4 + 16\] \[S = 124 + 16\] \[S = 140\]
Ответ: \(140\)
Задача 2.
Найдите квадрат расстояния между вершинами \(D\) и \(C_2\) многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
Решение:
Для нахождения квадрата расстояния между двумя точками в пространстве удобно использовать систему координат.
Пусть точка \(A\) будет началом координат \((0, 0, 0)\).
Определим координаты всех необходимых точек:
1. Точка \(A = (0, 0, 0)\).
2. Точка \(B\) находится на оси X. Длина отрезка \(AB = 1\). Значит, \(B = (1, 0, 0)\).
3. Точка \(C\) находится на оси X. Длина отрезка \(AC\) состоит из \(AB\) и \(BC\). Из рисунка видно, что \(BC\) является частью нижнего прямоугольника, который имеет ширину \(2\). Значит, \(BC = 2\). Тогда \(C = (1+2, 0, 0) = (3, 0, 0)\).
4. Точка \(D\) находится на оси X. Длина отрезка \(CD\) является частью нижнего прямоугольника, который имеет длину \(2\). Значит, \(CD = 2\). Тогда \(D = (3+2, 0, 0) = (5, 0, 0)\).
Теперь найдем координаты точки \(C_2\).
Точка \(C_2\) находится над точкой \(C\), но смещена по оси Y и Z.
Рассмотрим "башню" слева. Ее основание \(A_1B_1C_1G_1\). Высота \(AA_1 = 1\). Ширина \(AB = 1\). Глубина \(AG_1 = 3\).
Рассмотрим "башню" справа. Ее основание \(C_1D_1E_1F_1\). Высота \(CC_1 = 1\). Ширина \(CD = 2\). Глубина \(CE = 2\).
Точка \(C_2\) является вершиной верхнего параллелепипеда. Его основание \(B_2C_2D_2F\). Длина \(C_2D_2 = 1\). Ширина \(B_2C_2 = 3\). Высота \(C_2F_1 = 5\).
Давайте уточним координаты точек, исходя из рисунка.
Пусть \(A = (0, 0, 0)\).
Координаты точки \(D\): По оси X: \(AD = AB + BC + CD = 1 + 2 + 2 = 5\). По оси Y: \(0\). По оси Z: \(0\). Значит, \(D = (5, 0, 0)\).
Координаты точки \(C_2\): Точка \(C_2\) находится над точкой \(C\), но не напрямую. Рассмотрим нижний уровень. Точка \(C\) имеет координаты \((3, 0, 0)\). Точка \(C_1\) находится над \(C\) на высоте \(1\). Значит, \(C_1 = (3, 0, 1)\).
Теперь рассмотрим верхнюю часть многогранника. Вершина \(C_2\) является частью верхнего блока. Из рисунка видно, что \(C_2\) находится над точкой, которая является вершиной прямоугольника с размерами \(1 \times 3\) в основании и высотой \(5\). Основание этого блока находится на высоте \(1\) от плоскости XY.
Давайте определим координаты вершин верхнего блока. Точка \(F\) находится на высоте \(1\) от плоскости XY. Координаты \(F\): \(x_F = x_C = 3\). \(y_F = y_{C_1} = 0\). \(z_F = z_{C_1} = 1\). Значит, \(F = (3, 0, 1)\). (Это не совсем так, \(F\) - это точка на верхнем уровне, а \(C_1\) - на нижнем. Давайте переопределим.)
Лучше определить координаты всех ключевых точек.
Пусть \(A = (0, 0, 0)\).
Нижний уровень:
\(A = (0, 0, 0)\)
\(B = (1, 0, 0)\)
\(C = (1+2, 0, 0) = (3, 0, 0)\)
\(D = (3+2, 0, 0) = (5, 0, 0)\)
\(A_1 = (0, 0, 1)\) (высота \(1\))
\(B_1 = (1, 0, 1)\)
\(C_1 = (3, 0, 1)\)
\(G_1 = (0, 3, 1)\) (глубина \(3\))
\(F_1 = (3, 2, 1)\) (глубина \(2\))
\(E_1 = (5, 2, 1)\)
\(E = (5, 2, 0)\)
Верхний уровень:
Точка \(C_2\) является вершиной верхнего блока. Этот блок имеет основание, которое лежит на высоте \(1\). Его размеры: длина \(1\), ширина \(3\), высота \(5\).
Рассмотрим точку \(B_2\). Она находится над \(B_1\), но смещена. Из рисунка видно, что верхний блок имеет ширину \(3\) (по оси Y) и длину \(1\) (по оси X). Его нижняя грань находится на высоте \(1\).
Координаты точки \(F\): \(x_F = x_{B_1} = 1\). \(y_F = y_{B_1} = 0\). \(z_F = z_{B_1} = 1\). Значит, \(F = (1, 0, 1)\). (Это не соответствует рисунку, где \(F\) находится на пересечении трех блоков).
Давайте переосмыслим расположение блоков.
Есть три прямоугольных параллелепипеда:
1. Нижний левый: \(A B B_1 A_1 G_1 F_1 C_1\). Размеры: длина \(AB = 1\), ширина \(AG_1 = 3\), высота \(AA_1 = 1\). Вершины: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(G(0,3,0)\), \(C(1,3,0)\) (если бы он был целым). На рисунке: \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(A_1(0,0,1)\), \(B_1(1,0,1)\). Глубина \(AG_1 = 3