Задача:
По формулам Крамера, система линейных уравнений
\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n = b_n \end{cases} \]имеет бесконечное множество решений, если ...
Выберите один ответ:
О \( \Delta = 0 \), а хотя бы один из \( \Delta_i \) отличен от нуля
О \( \Delta = 0 \), \( \Delta_i = 0 \)
О \( \Delta \neq 0 \), \( \Delta_i = 0 \)
О \( \Delta \neq 0 \) и хотя бы один из \( \Delta_i \) отличен от нуля
Решение:
Для решения этой задачи нам нужно вспомнить правила, касающиеся формул Крамера для системы линейных алгебраических уравнений.
Пусть \( \Delta \) — это определитель основной матрицы системы, а \( \Delta_i \) — это определитель матрицы, полученной заменой \( i \)-го столбца основной матрицы на столбец свободных членов.
Существуют три основных случая:
-
Если \( \Delta \neq 0 \), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
\[ x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} \]В этом случае неважно, равны ли \( \Delta_i \) нулю или нет, главное, что \( \Delta \) не равен нулю.
-
Если \( \Delta = 0 \) и хотя бы один из \( \Delta_i \) отличен от нуля (то есть \( \exists i: \Delta_i \neq 0 \)), то система не имеет решений. Это означает, что система противоречива.
-
Если \( \Delta = 0 \) и все \( \Delta_i = 0 \) (то есть \( \forall i: \Delta_i = 0 \)), то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае система является неопределенной.
В нашей задаче спрашивается, когда система имеет бесконечное множество решений.
Согласно пункту 3, это происходит, когда \( \Delta = 0 \) и все \( \Delta_i = 0 \).
Выбираем правильный ответ:
Среди предложенных вариантов, правильным является тот, который соответствует условию \( \Delta = 0 \) и \( \Delta_i = 0 \) для всех \( i \).
Это вариант: \( \Delta = 0 \), \( \Delta_i = 0 \)
Ответ:
Правильный ответ: \( \Delta = 0 \), \( \Delta_i = 0 \)